sin7x+cos12x=2

[bloodymary__]

sin7x+cos12x=2

Благодаря предварително

[Реклама]

[NoThanks]

sin7x=cos12x=1 ([tex]sin7x \le 1 \; cos12x \le 1[/tex])

[ганка симеонова]

Според поста на Nоthanks , за да има решение уравнението трябва да са изпълнени едновременно уравненията
[tex]sin7x=1=>x=\frac{\pi }{14 }+\frac{2}{7 }k\pi [/tex] и
[tex]cos12x=1=>x=\frac{\pi m}{6 } [/tex]
Сега трябва да приравним двата отговора и разделяйки на [tex]\pi [/tex] и привеждане под ОЗ, получаваме
[tex]3+12k=7m=>3(1+4k)=7m [/tex] Тъй като 7 не дели 3, трябва 7 да дели 1+4k=>[tex]1+4k=7l=>21l=7m=>m=3l=>x=\frac{3l\pi }{ 6} =\frac{l\pi}{ 2} [/tex]

[bloodymary__]

Пак благодаря за решенията.
Но отговорът на задачата е 3∏/2+2к∏
Не ми е ясно как се получава

[NoThanks]

Aз май го получих. Имаме решенията:
[tex]x=\frac{\pi}{14} + \frac{2k\pi}{7}[/tex]
[tex]x=\frac{l\pi}{6}[/tex]
Сега искаме да са ни равни т.е
[tex]\frac{\pi}{14} + \frac{2k\pi}{7}=\frac{l\pi}{6}[/tex]
[tex]\frac{1}{14} +\frac{2k}{7} = \frac{l}{6}[/tex]
[tex]3+12k=7l[/tex] т.е искаме 7/3+12k . Сега(ако не се лъжа) имаме:
[tex]3+12k \equiv 0 (mod 7)[/tex]
[tex]12k \equiv -3(mod 7)[/tex]
[tex]12k \equiv 4(mod 7)[/tex]
[tex]4\equiv 60(mod 7)[/tex]
[tex]12k \equiv 60(mod 7)[/tex]
[tex]k\equiv 5(mod 7)[/tex]
т.е k е число от вида k = 7m+5 Заместваме си за х
[tex]x=\frac{\pi}{14}+\frac{2(7m+5)\pi}{7} = \frac{\pi}{14} + 2m\pi + \frac{10\pi}{7} = 2m\pi + \frac{21\pi}{14}=2m\pi + \frac{3\pi}{2}[/tex]

[r2d2]

Решаваме [tex] \cos12x=1\Rightarrow x=\frac {m\pi}{6}[/tex]
Проверяваме, кои от тях са решения на [tex]\sin 7x=1[/tex]

[tex]\sin (\frac {7m\pi}{6})=\sin (\frac {m\pi}{6}+m\pi)=sin (\frac {m\pi}{6})\cos m\pi=(-1)^m \sin (\frac {m\pi}{6})[/tex].

Сега.. си гледаме часовника (или си чертаем тригонометр. окръжност) и виждаме, че [tex](-1)^m \sin (\frac {m\pi}{6})=1[/tex] само при [tex]m=9 \;(0 \le m <12),[/tex] което отговаря на ъгъл[tex] \frac {3\pi}{2}.[/tex]

[Is it black or white?]

Добре, началото ни съвпада на всички максималната стойност на сбор на синус и косинус е 2 и се достига само при максималната стойност отделно на синуса (т.е. 1) и косинуса (пак 1)
Всъщност[tex]sin7x=1 \cap cos12x=1[/tex], тоест трябва да са система, защото решението са ни там където едновременно [tex]sin7x[/tex] и [tex]cos12x[/tex] стават [tex]1[/tex]
И после като приравним двата отговора получаваме едно диофантово уравнение, което трябва да решим, за кой цели стойности на к,m , лявата част на уравнението е равна на дясната , което ми напомни за една моя често срещана грешка, малка дреболийка, за която никога не забравят на състезание да отнемат точка [tex]k,m \in Z[/tex], мн се заяждат за това
Така относно задачата, тук идва и въпросът ми към "ганка симеонова", като решим диофантовото уравнение трябва да получим за кой стойности на [tex]k[/tex] 2-те решения са равни, тоест едновременно и [tex]sin[/tex] и [tex]cos[/tex] стават 1. Аз като си начертая тригонометричната окръжност, за да виждам нещата по-добре, защото често тя помага при по-нататъшните решения виждам, че чак при 270 градуса става засечка на [tex]\frac{\pi }{14 }+\frac{2}{7 }k\pi[/tex] и [tex]x=\frac{\pi m}{6 } [/tex], тоест ти това [tex] x=\frac{l\pi}{ 2}[/tex] като отговор ли го приемаш ? За [tex] l \in Z [/tex], да ама при [tex] l=1;2;4... [/tex] сборът на синуса и косинуса не прави едно, синусът се получава [tex]-1 [/tex] при [tex] l=1 [/tex], чак при [tex] l=3 [/tex], тоест при 270 градуса, и двете се получават единици , тоест искам да кажа, че решението ни ще е или [tex]\frac{\pi }{14 }+\frac{2}{7 }k\pi[/tex] за [tex]k=...[/tex] или [tex]x=\frac{\pi m}{6 } [/tex] за [tex]m=...[/tex], в зависимост от това кое от тях прави по-големи "крачки по тригонометричната окръжност", защото решенията на малките крачки са част от тези на големите а ние имаме система и като ги засечем вземаме това от тях, което по-бързо се върти на 360 градуса и ... според мене така трябва да фигурира отговора, а не [tex]x=\frac{l\pi}{ 2} [/tex], което най-малкото не е вярно , много ли бъркам или само малко ?

[bloodymary__]

За съжаление успях да разбера (и приложа) единствено решението на r2d2 , за което благодаря много .

[Is it black or white?]

Честно да ти кажа и аз повече разбрах неговото решение отколкото своето хахаха, макар че моето не е довърешно де, просто предлагах начин за решение