турнир на градовете

[Пафнутий]

Съществува ли такава степен на двойката, за която при разместване на цифрите се получава друга степен на двойката?

[Реклама]

[Nona]

Hint:

4837 = 4.10³ + 8.10² +3.10¹ + 7.10⁰ ≡ 4.1³ + 8.1² +3.1¹ + 7.1⁰ ≡ 4 + 8 + 3 + 7 (mod 9)

[Nona]

Всяко число е сравнимо със сумата от цифрите си по модул 9.

Съществува ли такава степен на двойката, при която има друга степен на двойката със същия брой цифри и същия остатък при делене на 9?

[tex]\begin{array}{|c|c||c|} \cyr{stepen na 2} & \cyr{suma na tsifrite} & \cyr{ostatyk po} (mod 9)\\\hline 1 & 1 & 1\\ 2 & 2 & 2\\4 &4 & 4\\8 & 8 & 8\\ 16 & 7& 7\\32 & 5 & 5 \\64 & 10 & 1 \\128 & 11 & 2 \\256 & 13 & 4 \\512 & 8 & 8\\1024 & 7 & 7 \\2048 & 14 & 5 \\4096 & 19 & 1 \\8192 & 20 & 2 \\16384 & 22 & 4 \\32768 & 26 & 8 \\65536 & 25 & 7 \\131072 & 14 & 5 \\262144 & 19 & 1 \end{array}[/tex]

Остатъците по (mod 9) на степените на двойката се повтарят през 6 стъпки, защото 64≡1 (mod 9):

2ⁿ⁺⁶=2ⁿ.64≡2ⁿ (mod 9)

Да допуснем, че съществуват две числа, степени на двойката, с еднакъв брой цифри и еднакъв остатък на сумата на цифрите при делене на 9. Но остатъците при делене на 9 се повтарят периодично през 6 степени на двойката. Но през такъв интервал не съществуват степени на двойката с еднакъв брой цифри. Противоречие с допуснатото, следователно няма 2 такива степени на двойката.

[Пафнутий]

Да допуснем, че съществуват 2 степени и нека да са [tex]2^a[/tex] и [tex]2^{a+b}[/tex] за [tex]a,b\in \mathbb{N}[/tex]. От [tex]2^4.2^n>10.2^n\Rightarrow b\le 3[/tex]. Тогава от [tex]2^a\equiv 2^{a+b}(mod 9) \Rightarrow 2^{a}(2^b-1)\equiv 0(mod 9)[/tex]- невъзможно.
ПП Решението не е мое.