Ирационално уравнение

[uktc]

Ето го:
.
Аз я реших с анализ, и съвсем случайно решението x=2 се оказа в края на дефиниционния интервал, който е 1≤x≤2.
Някакъв друг начин няма ли...

[Реклама]

[uktc]

Eстествено изключваме повдигането в квадрат докато се освободим от корена, защото ще се получи не знам си коя степен...

[uktc]

Ето решението ми.
Дефиниционното множество е x E [1,2]
I начин. За запознатите с производната.
Нека f(x)=sqrt(4x-x^2)+sqrt(4x-x^2-3)-3-sqrt(2x-x^2).
Намираме 1-вата производна. Тя е положителна за всяко x E [1,2].
=> f(x) има единствен корен. От друга страна max-a на f(x) се постига при x=2, който съвсем случайно е f(2)=0, т.е. 2 е единствен корен.
II начин.
Нека m(x)=sqrt(4x-x^2), n(x)=sqrt(4x-x^2-3), p(x)=-sqrt(2x-x^2)
Взимайки предвид графиките на квадратната функция, установяваме, че m(x), n(x) и p(x) са растящи в [1,2]. Но сбора от растящи функции също дава растяща функция. Т.е. f(x) е растяща, като максимума й се постига при x=2, и е равен на 0.

Само че тук е хубавото, че мах-а на функцията е равен на 0. Ами ако не беше 0? Чакам и други предложения за решение на задачата.

[uktc]

Търся по-стандартно решение, ако може някакво полагане да се направи, или нещо друго...

[glupaviq]

[uktc]

Да, и така стана.
Благодаря за идеята.

А за изпита- все още не се знаят датите доколкото знам. Скоро трябва да се публикуват. Но мисля, че ще е към края на май.

Ще се радвам да чуя и други идеи за решаване.

[Tony_89]

Ще направя допълнителни ДС:
SQRT(4*x - x²) + SQRT(4*x - x² - 3) - 3 ≥ 0
SQRT(4*x - x²) ≥ 3 - SQRT(4*x - x² - 3)

3 - SQRT(4*x - x² - 3) > 0 за всяко x E ДС

(SQRT(4*x - x²))² ≥ (3 - SQRT(4*x - x² - 3))²
4*x - x² ≥ 9 - 6*SQRT(4*x - x² - 3) + 4*x - x² - 3
SQRT(4*x - x² - 3) ≥ 1
4*x - x² - 3 ≥ 1
(x - 2)² ≤ 0 =>
=> x = 2

[uktc]

Тони, ти си велик . Много благодаря.

[glupaviq]

aham ,oki , i az neshto takova vidqh v SU foruma
za informatika li shte se borish ??
are jelaq ti uspqh