Суми..

[blz]

Здравейте отново, досадния тип с проблемите се върна

Не разбирам сумите и учебника не го разбирам..не знам защо трябва да се пише за математици все едно..Както и да е. Ако някой ми обясни как да ги решавам тия задачи ще съм му признателен.

Да се пресметне сумата[tex] \sum_{n=0}^{20} [/tex]Cⁿ₂₀ (-2)ⁿ

и

[tex] \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n-1}{5^{2n}} [/tex]


Благодаря предварително.

[Реклама]

[ferry2]

За втората сума като започнем да даваме стойности на [tex]n[/tex], като започнем от [tex]1[/tex], можем да разпишем сумата във вида:

[tex]0+\frac{1}{5^4}+\frac{1}{5^6}+\frac{1}{5^8}+\frac{1}{5^{10}}+.......+\frac{n-1}{5^{2n}[/tex]

Което е безкрайна намаляваща (сходяща) геометрична прогресия с частно [tex]\frac{1}{5^2}[/tex].
Използваме формулата [tex]S=\frac{1}{1-q}[/tex]

[tex]\Rightarrow S=\frac{1}{1-\frac{1}{25}}=\frac{24}{25}[/tex]

[blz]

Аха, обаче примерно ако n=3 в числителя става 3-1 и е равно на 2. Значи числителите нарастват или бъркам ?

[ferry2]

Така е ! Моя грешка въобще не обърнах внимание на числителя !

[blz]

Е ти пък, няма проблем.

Иначе да вървя по същия път ?

[ferry2]

Ами предполагам трябва да стане с индукция.

[NoThanks]

за 2рата, сумата се представя като триъгълник. Един вид имаш, че:
[tex] \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n-1}{5^{2n}} = \frac{1}{5^4} + \frac{2}{5^6}+\frac{3}{5^8}+\frac{4}{5^{10}} + \cdots [/tex] Което е еквивалентно на:
[tex]\frac{1}{5^4} + \frac{1}{5^6}+\frac{1}{5^8}+\frac{1}{5^{10}} + \cdots + \frac{1}{5^{2n}}[/tex]
[tex]\frac{1}{5^6}+\frac{1}{5^8}+\frac{1}{5^{10}} + \cdots + \frac{1}{5^{2n}}[/tex]
[tex]\frac{1}{5^8}+\frac{1}{5^{10}} + \cdots + \frac{1}{5^{2n}}[/tex]
.................................
[tex]\frac{1}{5^{2n}}[/tex]
Сега имаш n на брой геометрични прогресии и намираш сумата.

[r2d2]

Нека
[tex]S= \frac{1}{25^2} + \frac{2}{25^3}+\frac{3}{25^4}+ \cdots +\frac{n-1}{25^n}+\cdots[/tex]
Тогава:
[tex]25S=\frac{1}{25} + \frac{2}{25^2}+\frac{3}{25^3}+ \cdots +\frac{n}{25^n}+\cdots[/tex]
[tex]24S=25S-S=\frac{1}{25} + \frac{1}{25^2}+\frac{1}{25^3}+ \cdots +\frac{1}{25^n}+\cdots[/tex].
A това е геом. прогресия!

[gsinekliev]

Нещо не разбирам на R2D2 начина.Като умножаваме със 25 не трябва ли да се получи това:
[tex]25S=\frac{1}{25} + \frac{2}{25^2}+\frac{3}{25^3}+ \cdots +\frac{n-1}{25^{n-1}}[/tex]
и след това разликата става:
[tex]24S=\frac{1}{25} + \frac{2}{25^2}+\frac{3}{25^3}+ \cdots +\frac{n-1}{25^{n-1}}-\frac{1}{25^2} - \frac{2}{25^3} - \frac{3}{25^4}-\cdots -\frac{n-2}{25^{n-1}} - \frac{n-1}{25^n}[/tex] и като ги извадим трябва да стане:
[tex]24S=\frac{1}{25} + \frac{1}{25^2}+\frac{1}{25^3}+ \cdots +\frac{1}{25^{n-1}}+\frac{n-1}{25^n}[/tex]
И двете редици имат n-1 члена и би било логично ако от първият елемент на първата редица(25S) не се вади то и последния елемент от втората(S) да не участва като умалител.
Къде бъркам?

[r2d2]

[NoThanks]

Ох, а аз каква глупост съм написал. Начинът си важи, но само за суми от краен брой числа.