Регистрирайте сеРегистрирайте се

Делимост


 
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 5-8 клас
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Fri Jan 30, 2009 3:42 pm    Заглавие: Делимост

Да се докаже, че [tex]7|n^3+3^n[/tex] тогава и само тогава, когато [tex]7|n^3.3^n+1[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
mousehack
Напреднал


Регистриран на: 30 Dec 2007
Мнения: 437
Местожителство: SOFIA
Репутация: 46.9Репутация: 46.9Репутация: 46.9Репутация: 46.9Репутация: 46.9
гласове: 17

МнениеПуснато на: Fri Jan 30, 2009 5:30 pm    Заглавие:

[tex]3^1\equiv 3 (mod 7) =>n^3=1^3=1\equiv 1 (mod 7) => 7 \cyr {ne deli }[/tex]
[tex]n^3.3^n+1[/tex]
[tex]3^2\equiv 2 (mod 7) => n^3=2^3\equiv 1 (mod 7) => 7 \cyr {ne deli }[/tex]
[tex]n^3.3^n+1[/tex]
[tex]3^3\equiv 6 (mod 7) => n^3=3^3\equiv 6(mod 7) => 7 \cyr {ne deli } [/tex]
[tex]n^3.3^n+1[/tex]
[tex]3^4\equiv 4 (mod 7) => n^3=4^3\equiv 1(mod 7) => 7 \cyr {ne deli } [/tex]
[tex]n^3.3^n+1[/tex]
[tex]3^5\equiv 5 (mod 7) => n^3=5^3\equiv 6(mod 7) => 7 \cyr {ne deli } [/tex]
[tex]n^3.3^n+1[/tex]

[tex]3^6\equiv 1 (mod 7) => n^3=6^3\equiv 6(mod 7) =>7|n^3.3^n+1 [/tex] И следователно [tex]7|n^3+3^n[/tex]
След [tex]3^6[/tex] остатъците се повтарят през 6 при деление с 7.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Fri Jan 30, 2009 5:40 pm    Заглавие:

Е стига, де. Ако искаш и да ти дам обобщението да видим дали по същия начин ще го решиш. Това не е решение, ами просто разглеждане на всички възможни случаи...
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
r2d2
VIP


Регистриран на: 28 Feb 2007
Мнения: 1936
Местожителство: in the galaxy (Far Far Away)
Репутация: 311.2Репутация: 311.2
гласове: 179

МнениеПуснато на: Fri Jan 30, 2009 6:12 pm    Заглавие:

Koето си е решение, както и да го погледнеш!
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
mousehack
Напреднал


Регистриран на: 30 Dec 2007
Мнения: 437
Местожителство: SOFIA
Репутация: 46.9Репутация: 46.9Репутация: 46.9Репутация: 46.9Репутация: 46.9
гласове: 17

МнениеПуснато на: Fri Jan 30, 2009 6:41 pm    Заглавие:

Еми не знам обаче според мен това е решение,както и каза и r2d2.Кажи някое друго решение.Любопитно ми е.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Fri Jan 30, 2009 7:17 pm    Заглавие:

Очевидно [tex]n[/tex] не е кратно на [tex]7[/tex].Имаме [tex]7|n^3(3^n+n^3) \Rightarrow 7|n^3.3^n+n^6[/tex] , но [tex]n^6\equiv 1(mod 7)[/tex], т.е [tex]7|n^3.3^n+1[/tex]. В обратна посока се доказва аналогично. Обобщението, разбира се, е [tex]p|(\frac{p-1}{2})^n+n^{\frac{p-1}{2}} \Leftrightarrow p|(\frac{p-1}{2})^n.n^{\frac{p-1}{2}}+1[/tex] за нечетно просто [tex]p[/tex]. Е сега можеш ли и това да го докажеш по предния начин? Evil or Very Mad
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
mousehack
Напреднал


Регистриран на: 30 Dec 2007
Мнения: 437
Местожителство: SOFIA
Репутация: 46.9Репутация: 46.9Репутация: 46.9Репутация: 46.9Репутация: 46.9
гласове: 17

МнениеПуснато на: Fri Jan 30, 2009 7:46 pm    Заглавие:

Извинявьй но ще ми го обясниш ли малко по подробно че нещо не мога да разбера.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
mousehack
Напреднал


Регистриран на: 30 Dec 2007
Мнения: 437
Местожителство: SOFIA
Репутация: 46.9Репутация: 46.9Репутация: 46.9Репутация: 46.9Репутация: 46.9
гласове: 17

МнениеПуснато на: Fri Jan 30, 2009 8:09 pm    Заглавие:

stanislav atanasov написа:
Имаме [tex]7|n^3(3^n+n^3) [/tex]
Oт къде го имаме това Question
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Fri Jan 30, 2009 9:48 pm    Заглавие:

От [tex]7|n^3+3^n[/tex] ....
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
mousehack
Напреднал


Регистриран на: 30 Dec 2007
Мнения: 437
Местожителство: SOFIA
Репутация: 46.9Репутация: 46.9Репутация: 46.9Репутация: 46.9Репутация: 46.9
гласове: 17

МнениеПуснато на: Fri Jan 30, 2009 9:57 pm    Заглавие:

Е защо умножаваш с [tex]n^3[/tex] Question
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Fri Jan 30, 2009 9:59 pm    Заглавие:

А защо не? Какво ме спира?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
mousehack
Напреднал


Регистриран на: 30 Dec 2007
Мнения: 437
Местожителство: SOFIA
Репутация: 46.9Репутация: 46.9Репутация: 46.9Репутация: 46.9Репутация: 46.9
гласове: 17

МнениеПуснато на: Fri Jan 30, 2009 10:18 pm    Заглавие:

Последно:
Как получаваш [tex]n^6\equiv 1 (mod 7)[/tex] Question
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
r2d2
VIP


Регистриран на: 28 Feb 2007
Мнения: 1936
Местожителство: in the galaxy (Far Far Away)
Репутация: 311.2Репутация: 311.2
гласове: 179

МнениеПуснато на: Sat Jan 31, 2009 9:42 am    Заглавие:

Tова е малката теорема на Ферма:
Ако а е цяло, а р е просто [tex]a^p \equiv a \bmod p[/tex].
Именно за да използва тази теорема е умножил с n^3.
http://en.wikipedia.org/wiki/Proofs_of_Fermat%27s_little_theorem
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
mousehack
Напреднал


Регистриран на: 30 Dec 2007
Мнения: 437
Местожителство: SOFIA
Репутация: 46.9Репутация: 46.9Репутация: 46.9Репутация: 46.9Репутация: 46.9
гласове: 17

МнениеПуснато на: Sat Jan 31, 2009 4:14 pm    Заглавие:

Мерси.Тогава r2d2 [tex] \cyr {Kolko se poluchava }[/tex][tex]n^3\equiv --(mod 7)[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
mousehack
Напреднал


Регистриран на: 30 Dec 2007
Мнения: 437
Местожителство: SOFIA
Репутация: 46.9Репутация: 46.9Репутация: 46.9Репутация: 46.9Репутация: 46.9
гласове: 17

МнениеПуснато на: Sat Jan 31, 2009 4:31 pm    Заглавие:

Смисъл чудя се как да го докажа това което написа stanislav само че в обратната посока.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
mousehack
Напреднал


Регистриран на: 30 Dec 2007
Мнения: 437
Местожителство: SOFIA
Репутация: 46.9Репутация: 46.9Репутация: 46.9Репутация: 46.9Репутация: 46.9
гласове: 17

МнениеПуснато на: Sat Jan 31, 2009 4:50 pm    Заглавие:

Ако някои може да помогне.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Sat Jan 31, 2009 4:51 pm    Заглавие:

В обратната посока се решава абсолютно аналогично...
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
mousehack
Напреднал


Регистриран на: 30 Dec 2007
Мнения: 437
Местожителство: SOFIA
Репутация: 46.9Репутация: 46.9Репутация: 46.9Репутация: 46.9Репутация: 46.9
гласове: 17

МнениеПуснато на: Sat Jan 31, 2009 4:55 pm    Заглавие:

Така чи:
[tex]7|n^3.3^n+1 => 7|n^3.3^n+n^6 => 7|n^3(3^n+n^3) [/tex]
И после Question
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Sat Jan 31, 2009 4:58 pm    Заглавие:

7 възможно ли е да дели [tex]n[/tex]? Като я решаваш тази задача въобще мислиш ли?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
mousehack
Напреднал


Регистриран на: 30 Dec 2007
Мнения: 437
Местожителство: SOFIA
Репутация: 46.9Репутация: 46.9Репутация: 46.9Репутация: 46.9Репутация: 46.9
гласове: 17

МнениеПуснато на: Sat Jan 31, 2009 5:01 pm    Заглавие:

Значи тъй като [tex]n^3[/tex] не се дели на 7 [tex] =>7| n^3+3^n[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Sat Jan 31, 2009 5:03 pm    Заглавие:

Да
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
mousehack
Напреднал


Регистриран на: 30 Dec 2007
Мнения: 437
Местожителство: SOFIA
Репутация: 46.9Репутация: 46.9Репутация: 46.9Репутация: 46.9Репутация: 46.9
гласове: 17

МнениеПуснато на: Sat Jan 31, 2009 5:04 pm    Заглавие:

Мерси най-сетне разбрах. Embarassed
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 5-8 клас Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.