Задача с неочакван край

[r2d2]

За кои а
[tex]1+\sin^2(ax)=\cos 3x[/tex]
Има само едно решение?

[Реклама]

[NoThanks]

За лявата страна имаме сумата на 1 + квадрат. т.е
[tex]1+sin^2(ax) \ge 1[/tex]
За лявата страна имаме косинус =>
[tex]cos3x \le 1[/tex] Тогава равенството е възможно, само когато е изпълнена системата:
[tex]1+sin^2(ax)=1[/tex]
[tex]cos3x=1[/tex]
=>[tex]sin^2(ax)=0 <=> x=\frac{k\pi}{a}[/tex]
[tex]cos3x=1 <=> x=\frac{2l\pi}{3}[/tex] Откъдето задачата или няма решение, или решенията са безброй много. т.е няма такова а

[Baronov]

Близо си пич, близо си. Жалко, че някой ми е изтрил поста с верния отговор, щеше да можеш да си оправиш решението. Бил ти дал хинт, ама някои роботи няма да ми се накефят, затова ще пропусна.

[NoThanks]

Ми единственото, което си го отчитам като грешка е, че съм пропуснал да разгледам случая а=0. Обаче тва не е решение, защото тогава пак всичко е изпълнено за безброй много х.

[r2d2]

Абе, освен Баронв никой ли не може да го реши това? След няколко месеца сте на изпит?!

[NoThanks]

Имаме
[tex]x=\frac{k\pi}{a}[/tex](а=0 не върши работа)

[tex]x=\frac{2l\pi}{3}[/tex]

Сега [tex]\frac{k}{a}=\frac{2l}{3}[/tex]
Ако има единствено решение, то то ще е за к=л=0 ( в противен случай ще има безброй много). Сега имаме[tex]3k=2al[/tex] Ако а е четно, то имаме 3к = четно*л , но л е всяко цяло число => винаги ще има везброй решения. Ако а е нечетно, то пак същото. Остава само а=1, когато [tex]k=\frac{2l}{3}[/tex], но к и л са цели => единствено реш. к=л=0 за а=1

[r2d2]

Ех, Баронов! Гледаш ли?
А ти каза,че било очевидно!

ОчевАдна е една тъжна картинка. И е крайно време тя да се осъзнае! Образованието ни е гола вода!
Може да съм афектиран от проверката на контролните на моите студенти! Извинявам се, ама мноо зле!

[Вандер]

Функцията е четна ==> X = 0 тряя да е единственото решение ==> всяко a ?

[dgs]

За всяко ирационално a, уравнението има единствено решение x=0

Защото:
1. x=0 е решение за всяко a (и рационално и ирационално)
2. Ако за конкретно a съществува друго ненулево решение x1, то това означава, че съществуват две цели числа m и n такива че
x1= 2m.pi/3
x1= n.pi/a
==> a = (3/2)(n/m), т.е. a е рационално
т.е., ако има повече от едно решения, то a задължително е рационално
==> ако a е ирационално, то има единствено решение x=0


Добавка
На второ четене виждам, че съм пропуснал нещо важно - ако a е рационално, то задължително има повече от едно решение.

Защото:
1. x=0 е решение за всяко a (и рационално и ирационално)
2. Нека a е рационално, т.е. a=p/q където p и q са някакви цели числа и q не е нула
Нека x1=q.2pi
sin(a.x1)=sin((p/q).q.2pi)=sin(p.2pi)=0
cos(3.x1)=cos(2.(3.q.pi))=1
==> x1 е ненулево решение
==> ако a е рационално, то задължително има повече от едно решение.

[Вандер]

Е никой ли няма да каже кое е вярно и кое не ?

[Перо]

Никой няма да ти каже, защото задачата е поставена некоректно.
Какво значи "Има само едно решение"?
- Може да се реши по единствен начин. Не вярвам да има такава задача.
- Множеството от корените му е единствено. Приемам, че това е изпълнено винаги.
- Множеството от корени съдържа единствен елемент. Тогава трябва да се каже, че уравението има точно един корен.

Ако променим в условието "само едно решение" с "единствен корен", задачата става чудесна.

[ганка симеонова]

[Перо]

Ганке, не е важно кое училище си завършил, а на какво са те научили. Мен са ме учили да правя разлика между корен на дадено уравнение и решението му. Решение наричаме процедурата, коята води до намиране на корените, също така множеството от корените на уравнението. Какво ше кажеш за:
Намерете реалните корени на уравнението [tex]x^2+1=0[/tex].
Първо решение:[tex]x^2=-1[/tex]. Невъзможно е квадратът на реално число да е отрицателен. Следователно...

Второ решение:
[tex] x^2\ge 0 [/tex]
[tex]1>0 [/tex]. След почленно събиране на двете неравенства получаваме:
[tex]x^2+1>0[/tex]. Следователно...

От тези решения (към които всеки би добавил по още някое) следва, че решението на уравнението е няма решение.

[ганка симеонова]

[Перо]

[ганка симеонова]

А ти приеми,че решение и корен е едно и също "животно"