да се намери стойностите на a,b и c

[charlie_eppes]

Дадена е функцията [tex]f(x)=ax^{3}+bx^{2}+c[/tex] a,b,c параметри.
Да се намери стойностите на a,b,c ако при x=2 функцията има локален минимум равен на -2 а в точката x=1 ъгловият коефициент на допирателната към грефиката `и е -3.
Как да стане самата система или уравнение!?

[Реклама]

[Spider Iovkov]

[tex]f(x)=ax^3+bx^2+c[/tex]
По условие при [tex]x=2[/tex] тази функция има локален минимум и [tex]f_{min}=-2[/tex]. Също така при [tex]x=1[/tex] ъгловият коефициент на допирателната към графиката е [tex]k=-3[/tex]. Очевидно [tex]x=2[/tex] анулира първата производна [tex]f'(x)[/tex]. Да пресметнем тази производна:
[tex]f'(x)=(ax^3)'+(bx^2)'+c' \Leftrightarrow f'(x)=a(x^3)'+b(x^2)' \Leftrightarrow f'(x)=3ax^2+2bx[/tex].
Ще е изпълнено [tex]f'(2)=0[/tex]. Тогава [tex]3.2^2.a+2.2.b=0 \Leftrightarrow 12a+4b=0 \Leftrightarrow \fbox {3a+b=0} (1)[/tex].
От условието имаме [tex]x=1 \Rightarrow k=-3 \Rightarrow \tan\alpha=-3 \Rightarrow f'(1)=-3 \Rightarrow \fbox {3a+2b=-3} (2)[/tex].
Обединяваме [tex](1)[/tex] и [tex](2)[/tex] и получаваме
[tex]\begin{array}{||}3a+b=0\\3a+2b=-3\end{array} \Rightarrow \cancel {3a}+b-\cancel {3a}-2b=3 \Leftrightarrow \fbox {b=-3} \Rightarrow \fbox {a=1}[/tex].
Но [tex]f(2)=f_{min}=-2[/tex]. По тази логика заместваме [tex]x=2[/tex] в основната функция с вече получените коефициенти [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] и определяме:
[tex]f(x)=x^3-3x^2+c; f(2)=-2 \Leftrightarrow 2^3-3.2^2+c=-2 \Leftrightarrow 8-12+c=-2 \Leftrightarrow \fbox {c=2}[/tex]. Функцията е [tex]f(x)=x^3-3x^2+2[/tex].
Уравнението на допирателната ще бъде [tex]g(x)=f'(1)(x-1)+f(1) \Leftrightarrow g(x)=3-3x[/tex].

[charlie_eppes]

Мерси много! Искам само да питам това накрая що го направи със графиката то не се иска!? И какво всъщност или по точно откъде дойде това g(x)=f'(1)(x-1)+f(1)? И даже как се разбира че графиката ще изглежда по този начин?

[Spider Iovkov]

Правата [tex]g(x)=f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})[/tex] се нарича допирателна към графиката на функцията [tex]f(x)[/tex] в точката с абсциса [tex]x_{0}[/tex]. По условие тази абсциса е [tex]x=1[/tex]. Просто заместваме стойността [tex]x=1[/tex] в производната [tex]f'(x)[/tex] и във [tex]f(x)[/tex] и така получаваме уравнението на допирателната.

[charlie_eppes]

Ще извиняваш! Да те питам още нещо-защо x=2 анулира първата производна f'(x)?

[Spider Iovkov]

Защото при [tex]x=2[/tex] функцията има екстремум.

[charlie_eppes]

А ако нямаше!?