Отново ирационално уравнение

[Saposto_MM]

Решете в реални числа уравнението
[tex]\-x+sqrt{1-x^{2}}\-=sqrt{2}\left(2x^{2}-1\right)[/tex]. Да се намери повече от едно решение.

[Реклама]

[Пафнутий]

Пускано е поне 2 пъти във форума. Първият път мисля, че беше от Garoll.

[mathinvalidnik]

..Ми я дайте линк да го видиме как става

[blqaa]

Полагаме [tex]sqrt{1 - x^{2}}[/tex] след това разлагаме 2х² на х² + х² и трябва да се получи нещо хубавo, решавал съм я преди 1-2 месеца, но помня ,че ставаше нещо лесно след това полагане.

[naitsirk]

[tex]2x^2-1=x^2+x^2-1=x^2 - (1-x^2)=(x-\sqrt{1-x^2} )(x+\sqrt{1-x^2} )[/tex]
Нататък е очевидно

[r2d2]

[tex]|x+sqrt{1-x^{2}}|=a\left(2x^{2}-1\right)[/tex]
Колко решения в зависимост от а?

[Spider Iovkov]

[tex]|x+\sqrt{1-x^2}|=a(2x^2-1)[/tex]
За да съществува квадратният корен, то трябва да е изпълнено [tex]1-x^2\ge 0 \Leftrightarrow x\in [-1;1][/tex]. Нека да положим [tex]x=\cos\phi[/tex]. Очевидно [tex]\cos\phi \in [-1;1][/tex] и даденото уравнение добива вида
[tex]|\cos\phi+\sqrt{1-\cos^2\phi}|=a(2\cos^2\phi-1)[/tex]
и е еквивалентно на
[tex]|\cos\phi+|\sin\phi||=a \cos2\phi[/tex].
І случай. [tex]\sin\phi \in [0;1][/tex] (заради допустимите стойности) и [tex]\Rightarrow |\sin\phi|=\sin\phi \Rightarrow |\cos\phi+\sin\phi|=a\cos2\phi[/tex].
От тригонометричната таблица виждаме, че [tex]\sin\phi+\cos\phi=\sqrt{1+\sin2\phi} \Rightarrow |\sqrt{1+\sin2\phi}|=a\cos2\phi[/tex]. Понеже изразът [tex]\sqrt{1+\sin2\phi}[/tex] е винаги неотрицателен, то [tex]|\sqrt{1+\sin2\phi}|=\sqrt{1+\sin2\phi}[/tex] и уравнението отново се изменя:
[tex]\sqrt{1+\sin2\phi}=a\cos2\phi \Rightarrow 1+\sin2\phi=a^2\cos^2 2\phi \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow a^2\cos^2 2\phi-\sin2\phi=1 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow a^2(1-\sin^2 2\phi)-\sin2\phi=1 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow a^2-a^2 \sin^2 2\phi-\sin2\phi-1=0 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \fbox {a^2\sin^2 2\phi+\sin2\phi+1-a^2=0}[/tex].
Сега, при [tex]a=0[/tex] уравнението става линейно: [tex]\sin2\phi=-1[/tex].
Нека [tex]a\neq 0[/tex]. Трябва да определим за кои стойности на [tex]a[/tex] квадратното относно [tex]\sin2\phi[/tex] уравнение има корени. Да означим за удобство [tex]\sin2\phi=t[/tex]. Тогава получаваме [tex]a^2t^2+t+1-a^2=0 \Leftrightarrow t_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{1-4a^2(1-a^2)}}{2a^2}=\frac{-1 \pm \sqrt{(2a^2-1)^2}}{2a^2}=\frac{-1 \pm |2a^2-1|}{2a^2}[/tex].
[tex](1)[/tex] [tex]2a^2-1\ge 0 \Leftrightarrow a\in (-\infty;-\sqrt{\frac{1}{2}}]\cup [\sqrt{\frac{1}{2}};+\infty) \Rightarrow |2a^2-1|=2a^2-1 \Rightarrow t_{1}=\frac{a^2-1}{a^2}, t_{2}=-1 \Rightarrow \sin2\phi=\frac{a^2-1}{a^2}, \sin2\phi=-1[/tex].
[tex](2)[/tex] [tex]a\in [-\sqrt{\frac{1}{2}};\sqrt{\frac{1}{2}}] \Rightarrow |2a^2-1|=1-2a^2 \Rightarrow t_{3}=\frac{a^2-1}{a^2}, t_{4}=-1 \Rightarrow \sin2\phi=\frac{a^2-1}{a^2}, \sin2\phi=-1[/tex].
ІІ случай. [tex]\sin\phi \in [-1;0][/tex] (пак заради ограничеността на тази функция) [tex]\Rightarrow |\sin\phi|=-\sin\phi \Rightarrow |\cos\phi-\sin\phi|=a\cos2\phi[/tex]. Използваме формулата за разлика на косинус и синус от тригонометричното ръководство и преобразуваме уравнението:
[tex]|\sqrt{1-\sin2\phi}|=a\cos2\phi[/tex].
След разкриване на модула и повдигане на втора степен получаваме уравнението следствие
[tex]1-\sin2\phi=a^2\cos^2 2\phi \Leftrightarrow \fbox {a^2 \sin^2 2\phi-\sin2\phi+1-a^2=0}[/tex].
По аналогия с предишното, ако [tex]a=0[/tex], то уравнението се свежда до линейно относно [tex]\sin2\phi[/tex].
Нека [tex]a\neq 0[/tex]. Отново въвеждаме [tex]\sin2\phi=u[/tex] и [tex]\Rightarrow a^2u^2-u+1-a^2=0 \Rightarrow u_{1,2}=\frac{1 \pm |2a^2-1|}{2a^2}[/tex]. Оттук за [tex]\sin2\phi[/tex] получаваме решенията:
[tex]\sin2\phi=1, \sin2\phi=\frac{1-a^2}{a^2}[/tex].

[r2d2]

Въпросът беше: Колко са решенията в зависимост от а?
Отговорът поне за мен е неразбираем!