задачи от математическа индукция

[The Pink Panther]

имам проблем с няколко задчи от математическа индукция. ако може да помогнете:
зад1. Докажете, че за всяко естествено число n е изпълнено:
1.1! + 2.2! + ... + n.n! = (n+1)! - 1
зад2. Докажете, че всяко естествено число n може да се представи еднозначно във вида:
n= a₁.1! + a₂.2! + a₃.3! + ... , където
0≤a₁≤1, 0≤a₂≤2, 0≤ a₃≤3, ...
зад3. Дадени са n окръжности в равнината такива, че всеки две от тях се пресичат в две точки и никой три от тях не минават през една точка. На колко части е разделена равнината от тези окръжности.
Първата задача е лесна, но мисля че може да се използва за решаването на втората. По-късно може да постна още задачи.

[Реклама]

[Пафнутий]

За 1вата. Само индукционната стъпка ще докажа. [tex](n+1)!-1+(n+1)(n+1)!=(n+1)!(n+1+1)-1=(n+2)!-1[/tex].
За 2рата. От 1вата задача следва, че всяко естествено число може да се престави в този вид.Остава да се докаже единствеността. Да допуснем, че числото може да се престави по два начина в горния вид. Нека те са [tex]a_{1}.1!+a_{2}.2!+...+a_{n}.n!=b_{1}.1!+b_{2}.2!+...+b_{n}.n Първо разглеждаме 2те страни по модул 2, откъдето [tex]a_{1}=b_{1}[/tex] и въобще разглеждайки последователно по [tex](mod k+1)[/tex] ние доказваме, че [tex]a_{k}=b_{k}[/tex]. Откъдето [tex]a_{j}=b_{j}[/tex] за всяко [tex]j[/tex]- противоречие.

[r2d2]

[The Pink Panther]

Да и аз нещо не можах да разбера това решение.