две задачи по ЛА

[the_n00b]

Някой може лиу да ми помогне с тези задачи

[Реклама]

[nikko1]

2 зад. Базиса на сечението ще са вектори и от двете пространства, следователно решения едновременно на системата и на третото равенство. Така стигаш до система, в която са и трите уравнения. Намери фундаментална система решения на тази система и си готов с базиса.
3 зад. Понеже равенството е в сила за всички стойности на [tex]\xi_i,[/tex] то им даваш стойности, така че да се получат образите на базисните вектори. Целта е да получиш [tex]\varphi(e_1),\ \varphi(e_2),\ \varphi(e_3)[/tex]. Помисли сам какви стойности на три пъти да дадеш на кситата. След като намериш образите на базисните вектори вече можеш да напишеш матрицата на оператора (образите се пишат в стълб). Следва да намериш характеристичния полином и неговите корени - собствените стойности на [tex]\varphi,[/tex] а след това и собствените вектори, които като ортонормираш ще образуват базис, в който матрицата на оператора е диагонална (по главния диагонал стоят точно собствените стойности).

[the_n00b]

мерси много за помощта

[the_n00b]

Има ли желаещи да ми разпи6ат втората задача че ми е малко трудно това с ортонормирането

[nikko1]

Напиши собствените стойности и вектори и ще ти помогнем.

[the_n00b]

за собствените стойности получих 0,1,-1
а за собствените вектоири
а1(1,0,-2)
а2(1,1,0)
а3(1,4,0)

[nikko1]

Собствените стойности са вярни, но не и векторите. За да намерим матрицата даваме следните стойности:
[tex]\xi_1=1,\ \xi_2=0,\ \xi_3=0,\ \varphi(e_1)=3e_1-e_2+e_3[/tex]
[tex]\xi_1=0,\ \xi_2=1,\ \xi_3=0,\ \varphi(e_2)=8e_1-2e_2+e_3[/tex]
[tex]\xi_1=0,\ \xi_2=0,\ \xi_3=1,\ \varphi(e_3)=2e_1\qquad\qquad-e_3[/tex] и матрицата на оператора [tex]A=\left(\begin{array}{rrr}3&8&2\\-1&-2&0\\1&1&-1\end{array}\right).[/tex]
Сметни пак собствените вектори, като за всяко i намери фундаментална система решения на хомогенната система [tex]\left(A-\lambda_i.E\right)x=O.[/tex]

[the_n00b]

пак са 1,0,-1
а
а1(0,1,-2)
а2(0,-1,1)
а3(-1,0,-2)

видях каде съм объркал дано тоя път да съм ги сметнал правилно

[nikko1]

За съжаление, не си. Нека подредим собствени стойности [tex]\lambda_1=0,\ \lambda_2=1,\ \lambda_3=-1.[/tex]
[tex]\lambda_1=0, [/tex] получаваме системата [tex]\begin{array}{|lcr} 3x_1+8x_2+2x_3&=&0\\-x_1 -2x_2 &=&0\\\ \ x_1 +\ x_2-\ x_3&=&0\end{array}.[/tex]
Метод на Гаус -> [tex]A=\left(\begin{array}{rrr} 3 & 8 & 2 \\ -1 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & -1\end{array}\right)\longright^{R_1\leftrightarrow R_3}\left(\begin{array}{rrr} 1 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & -1 \\0 & 5 & 5\end{array}\right)\longright^{-R_2}_{\frac{1}{5}R_3}\left(\begin{array}{rrr} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\0 & 1 & 1\end{array}\right)\longright^{R_3-R_2}\left(\begin{array}{rrr} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\0 & 0 & 0\end{array}\right)[/tex] и решенията са [tex]x_3=p,\ x_2=-p,\ x_1=2p, [/tex] задаваме [tex]p=1[/tex] и първият вектор [tex]a_1=(1,\ -1,\ 2).[/tex]
...
[tex]a_2=(3,\ -1,\ 1),\ a_3=(2,\ -1,\ 1).[/tex]

Ортогонализираме системата по метода на Грам-Шмит.
[tex]e_1=a_1,\ e_2=a_2+t_1e_1,[/tex] където искаме [tex]e_2[/tex] да е ортогонален на [tex]e_1.[/tex] Тогава [tex]t_1=-\frac{e_1.a_2}{e_1.e_1}=-\frac{1.3+(-1).(-1)+2.1}{2.2+(-1)(-1)+1.1}=-\frac{6}{6}=-1, [/tex] следователно [tex]e_2=a_2-e_1=(3,\ -1,\ 1)-(1,\ -1,\ 2)=(2,\ 0,\ -1).[/tex]
[tex]e_3=a_3+l_1.e_1+l_2.e_2,[/tex] където [tex]l_1=-\frac{e_1.a_3}{e_1.e_1}=-\frac{5}{6},\ l_2=-\frac{e_2.a_3}{e_2.e_2}=-\frac{3}{5},\ e_3=(2,\ -1,\ 1)-\frac{5}{6}(1,\ -1,\ 2)-\frac{3}{5}(2,\ 0,\ -1)=-\frac{1}{30}(1,\ 5,\ 2).[/tex] Понеже ще ги правим векторите единични, то е удобно да вземем [tex]e_3=(1,\ 5,\ 2).[/tex]
Ортонормираме вече ортогонализизаната система като делим на дължините на векторите. Това е търсеният базис.
[tex]e_1'=\frac{e_1}{|e_1|}=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,\ -1,\ 2).[/tex]
[tex]e_2'=\frac{e_2}{|e_2|}=\frac{1}{\sqrt{5}}(2,\ 0,\ -1).[/tex]
[tex]e_3'=\frac{e_3}{|e_3|}=\frac{1}{\sqrt{30}}(1,\ 5,\ 2).[/tex]
Диагоналната матрица е [tex]D=\left(\begin{array}{rrr}0&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{array}\right).[/tex]

[the_n00b]

много мерси за помоща. надявам са утре да си искарам испита

[nikko1]

Пожелавам ти успех