Логаритмично неравенство

[mathinvalidnik]

[tex]log_{x} \frac{2x-1}{x^{2}+x } >0[/tex]

Колко получавате за решения на това логаритмично неравенство,смисъл в кой интервал,че нещо ми се разминават отговорите....аз получавам [tex]x\in (\frac{1}{2 };1) [/tex] .......

[Реклама]

[Spider Iovkov]

[tex]log_{x}\frac{2x-1}{x^2+x}>0[/tex]
[tex]D.M._{x}:\begin{array}{||}x>0\\x\neq 1\\\frac{2x-1}{x^2+x}>0\\x^2+x\neq 0\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{||}x>0\\x\neq 1\\x\in (-1;0)\cup (\frac{1}{2};+\infty)\\x\neq 0;-1 \end{array} \Leftrightarrow x\in (-1;0)\cup (\frac{1}{2};+\infty) \backslash \left{ 1 \right}[/tex]
Сменяме основата на логаритъма например на [tex]2[/tex] и получаваме
[tex]\frac{log_{2}\frac{2x-1}{x^2+x}}{log_{2}x}>0[/tex].
Това неравенство ще е изпълнено, ако едновременно са изпълнени
[tex]\begin{array}{||}log_{2}\frac{2x-1}{x^2+x}>0\\log_{2}x>0\end{array} \cup \begin{array}{||}log_{2}\frac{2x-1}{x^2+x}<0\\log_{2}x<0\end{array} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \begin{array}{||}\frac{2x-1}{x^2+x}>1\\x>1\end{array} \cup \begin{array}{||}\frac{2x-1}{x^2+x}<1\\x<1\end{array} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \begin{array}{||}\frac{2x-1-x^2-x}{x^2+x}>0\\x>1\end{array}\cup \begin{array}{||}\frac{2x-1-x^2-x}{x^2+x}<0\\x<1\end{array} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \begin{array}{||}(x^2-x+1)(x^2+x)<0\\x>1\end{array}\cup \begin{array}{||}(x^2-x+1)(x^2+x)>0\\x<1\end{array} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \begin{array}{||}x(x+1)<0\\x>1\end{array}\cup \begin{array}{||}x(x+1)>0\\x<1\end{array}[/tex].
Накрая получените решения се засичат с дефиниционното множество.