Кой е минималният ъгъл?

[r2d2]

Страната АВ=4, а медианата АМ=1 (М-среда на ВС).
Измежду всички такива триъгълници, намеререте този, за който [tex]\angle BAC [/tex] е минимален!

[Реклама]

[NoThanks]

От формулата за медианата си намираме:
[tex]1=\frac{1}{4}(2.16+2AC^2-4x^2) <=> 4=32+2AC^2-4x^2 <=>AC^2=2x^2-14 <=>AC=\sqrt{2x^2-14}[/tex]
Сега от неравенство на 3ъгълника в ▲АBM: x+1>4 => x>3;1+4>x <=> x<5(Аналогично и в другия 3ъгълник АМC пишем неравенства на 3ъгълника, но това не води до нови ограничения) => [tex]x\in (3;5)[/tex] Сега нека [tex]\angle{BAC}=\varphi[/tex] => от косинусова теорема:
[tex]4x^2=16+2x^2-14 -2.4.\sqrt{2x^2-14}cos\varphi[/tex]
[tex]cos\varphi=\frac{2-2x^2}{8\sqrt{2x^2-14}}=\frac{1-x^2}{4\sqrt{2x^2-14}}=f(x)[/tex]
Сега намираме [tex]f'(x) =\frac{-8x\sqrt{2x^2-14} - (1-x^2)4\frac{4x}{2\sqrt{2x^2-14}}}{16(2x^2-14)}=\frac{x(-x^2+13)}{4(x^2-7)\sqrt{2x^2-14}[/tex] Сега определяме знаците на производната в съответните интервали, като ни интересува само този от (3;5) и, че най-голямата/малката стойност в този интервал не може да е повече/по-малко от 1/-1. Получаваме [tex]x=\sqrt{13}[/tex] локален максимум, т.е [tex]f(max) = f(\sqrt{13}) = \frac{1-13}{8\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex] =>Най-голямата ст-т, която ф-ята може да получи в разглеждания интервал е [tex]-\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex], но тя е отрицателна(т.е [tex]\varphi \in(-\pi;\pi/2)[/tex] ,a в този интервал косинуса е намаляваща ф-я => Най-голямата ст-т за косфи съответства на най-малката на фи => търсената ст-т на BAC e 150 градуса. Сега страните се намират с косинусова теорема(ако се търсят и те).

[r2d2]

Решението ти е вярно!
Вчера дадох зада4ата на един (вярно талантлив) деветокласник и той я реши! Без производни и косинусови теореми!
Ти можеш ли?

[NoThanks]

Имам някакво 'решение' като за 9ти клас, но не знам дали ще се хареса на аудиторията.
Разглеждаме [tex]\angle{BAC}=\angle{BAM}+\angle{CAM}[/tex] Сега, ако [tex]\angle{AMB}[/tex] е тъп, то [tex]\angle{BAM}[/tex] ще бъде минимален, но от друга страна, [tex]\angle{CMA}[/tex] ще бъде остър, откъдето пък [tex]\angle{CAM}[/tex] няма да бъде минимален. От тук правим извода, че ъгълът ни ще е минимален, когато [tex]\angle{CMA}=\angle{BMA}=90[/tex]. Сега в ▲АBM имаме AB=4;AM=1 => BM=[tex]\sqrt{15}[/tex]. Тогава пускаме височината от М(нека тя е MH). Получаваме системката:
[tex]15=y^2+h^2[/tex]
[tex]1=(4-y)^2+h^2[/tex]
където AH=4-y;HB=y;=>
[tex]14=y^2-16+8y-y^2 => y=\frac{15}{4}[/tex] => [tex]AH=\frac{1}{4}[/tex], но▲АHM е правоъгълен с хипотенуза 1 и катет 1/4, откъдето следва, че ъгълът с/у катета е 15 градуса(тва беше няква основна задачка от 7ми клас). Сега ъгъл [tex]BAM=75=CAM[/tex] => [tex]\angle{BAC}=150^\circ [/tex]

[r2d2]

[Pinetop Smith]

Eто и моето решение. Ясно е, че всички точки М са разположени върху окръжност k с център А и радиус 1. Нека за всяка такава точка, M₁ е симетричната на В относно М. Ясно е, че всички точки M₁ лежат на окръжност Г с център D, който е симетричен на В относно А и с радиус 2. На окръжността Г ще лежи и точката С с търсеното свойство, т.е. търсим тази точка М₁, за която ъгълът ВАМ ₁ е минимален. Нека допирателната през А към Г я допира в Р. Очевидно, ако М₁ ≠ Р, то [tex]\angle BAP < \angle BAM_1[/tex], откъдето минимален <А се получава когато АС е допирателна към Г.

Нека е изпълнено това условие, тогава CD = 2 като радиус и DA = 4, откъдето <DAC = 30 и тогава <ABC = 150.