5 клас: Да се намерят още две равенства с по 3 числа

[iskrai]

Дадени са уравненията
2009= 2²+18²+41² и
2009= 22²+25²+30²

Да се намерят още две равенства с по 3 числа, сумата от квадратите на които да дава 2009 и още един случай само с две числа- сумата от квадратите на които да дава също 2009

[Реклама]

[iskrai]

ето вече няколко комбинации
38²+23²+6²=2009
29²+32²+12²=2009
само с две числа
35²+28²=2009

[r2d2]

Мило дете, как ги намери всичките тези?!

[s.karakoleva]

Числото 2009 има интересно представяне чрез девет седмици:
[tex]2009=7\cdot 7\cdot 7\cdot7-7\cdot 7\cdot 7-7\cdot 7=7^4-7^3-7^2=7^2(7^2-7-1)=7^2\cdot 41[/tex]

Нека x и y са търсените числа, решение на диофантовото уравнение
[tex]x^2+y^2=2009[/tex]

Тъй като 2009 е нечетно число, то ако x е четно, y трябва да бъде нечетно и обратно.

Даденото уравнение се преобразува във вида:
[tex]x^2+y^2=7^2\cdot 41,[/tex]
което е еквивалентно на
[tex]\left(\frac{x}{7}\right)^2+\left(\frac{y}{7}\right)^2=41.[/tex]

От последното уравнение следва, че числата x и y трябва да се делят на 7. Нека
[tex]x=7\cdot (2k)\quad , \quad y=7(2s+1),[/tex]
където к, s=1,2,3,...

Получава се уравнението
[tex](2k)^2+(2s+1)^2=41.[/tex]

И така, търсят се четно и нечетно число, сборът от квадратите на които да дава 41. Лесно се проверява, че това е изпълнено само за 4 и 5. Следователно, решенията са [tex]x_1=28,\ y_1=35,\ x_2=35,\ y_2=28.[/tex]

Е, дадох жокер .
Нататък за разлагането на 2009 като сбор от квадрати на три числа има повече решения, но колко точно...? Успех!

[DASKALOV]