Интегриране. Неопределен интеграл

[Spider Iovkov]

С помощта на диференцирането можем, знаейки закона за движението на тяло, да намерим неговата скорост във всеки един момент. Понякога обаче възниква и необходимостта от решаване на обратната задача – ако знаем скоростта на праволинейно движещо се тяло, да определим закона за движение. Тези и подобни на тях задачи се решават с помощта на операцията интегриране на функция, която по своята същност е обратна на операцията диференциране.
Разделът от математиката, в който се изучават свойствата на операцията интегриране и нейните приложения в решаването на геометрични и физични задачи, носи названието интегрални изчисления.
Когато се изучава действието диференциране, се определят основните правила за намиране на производни на функции:
[tex]C'=0;\\x'=1;\\(x^n)'=nx^{n-1};\\ [f^n(x)]'=nf^{n-1}(x)f'(x);\\(u\pm v)'=u'\pm v';\\(uv)'=u'v+uv';\\(Cu)'=Cu';\\(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}, v\neq 0;\\(sin x)'=cos x;\\(cos x)'=- sin x;\\(\tan x)'=\frac{1}{cos^2 x}, cos x \neq 0;\\(\cot x)'=-\frac{1}{sin^2 x}, sin x\neq 0[/tex].
Тук се откроява и една специфична категория, наречена диференциал на функцията. Нека са дадени функцията [tex]f(x)[/tex] и нейната първа производна [tex]f'(x)[/tex]. Тогава [tex]\lim_{x\to\0}\frac{\triangle f(x)}{\triangle x}=f'(x)[/tex]. Това може да бъде записано и като [tex]f'(x)=\frac{d f(x)}{d x}[/tex]. Оттук получаваме [tex]df(x)=f'(x)dx[/tex]. Означението [tex]dx[/tex] показва, че диференцирането е по посока но променливата [tex]x[/tex].
Функцията [tex]F(x)[/tex], дефинирана в някакъв интервал [tex]X[/tex], се нарича първообразна за функцията [tex]f(x)[/tex], определена в същия този интервал [tex]X[/tex], ако за всяко [tex]x\in X[/tex] е изпълнено равенството [tex]F'(x)=f(x)[/tex], или [tex]dF(x)=f(x)dx[/tex].
Например от равенството [tex](x^3)'=3x^2[/tex] следва, че функцията [tex]x^3[/tex], определена за всички числа от оста, е първообразна за функцията [tex]3x^2[/tex]. Но забелязваме и че функцията [tex]x^3+4[/tex] също се явява първообразна за [tex]3x^2[/tex]. По тази логика функцията [tex]3x^2[/tex] има безброй много първообразни функции от вида [tex]x^3+C[/tex].
Определение. Съвкупността от всички първообразни функции на [tex]f(x)[/tex] се нарича неопределен интеграл и се обозначава със символа [tex]\int f(x)dx[/tex].
Имаме [tex]\int f(x)dx=F(x)+C[/tex]. В този запис [tex]f(x)[/tex] е подинтегрална функция, [tex]f(x)dx[/tex] – подинтегрален израз, променливата [tex]x[/tex] – променлива на интегрирането, а събираемото [tex]C[/tex] – константа на интегрирането. Тъй като [tex]x^3[/tex] е първообразна за [tex]3x^2[/tex], то
[tex]\int 3x^2 dx=x^3+C[/tex].
Като се опираме на определението за първообразна, ще докажем следните свойства на неопределения интеграл.
[tex](1)[/tex] Има място равенството [tex]\fbox{d(\int f(x)dx)=f(x)dx}[/tex].
Всъщност по определение [tex]\int f(x)dx=F(x)+C[/tex], където [tex]F'(x)=f(x)[/tex]. Ето защо [tex]d(\int f(x)dx)=[F(x)+C]'dx=F'(x)dx=f(x)dx[/tex].
[tex](2)[/tex] Има място равенството [tex]\fbox{\int F'(x)dx=F(x)+C}[/tex].
Това произтича непосредствено от определението за неопределен интеграл.
[tex](3)[/tex] Константата може да бъде изнесена пред знака на интеграла:
[tex]\fbox{\int Af(x)dx=A\int f(x)dx}[/tex].
Ако [tex]F'(x)=f(x)[/tex], то [tex][AF(x)]'=AF'(x)=Af(x)[/tex]. Тогава
[tex]\int Af(x)dx=AF(x)+C=A\int f(x)dx[/tex].

[Реклама]

[Relinquishmentor]

[martingale]