Обратна матрица

[taskovn]

Здравейте,
От едно известно време се мъча със следната матрица
[tex]\left(\begin{array}{rrrrrrrrr} 5 & 1 & 1 & 1 & ............. & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 5 & 1 & 1 & ............. & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 5 & 1 & ............. & 1 & 1 & 1 \\ . & . & . & . & ............. & . & . & . \\ . & . & . & . & ............. & . & . & . \\ . & . & . & . & ............. & . & . & . \\ . & . & . & . & ............. & . & . & . \\ . & . & . & . & ............. & . & . & . \\ 1 & 1 & 1 & 1 & ............. & 1 & 5 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & ............. & 1 & 1 & 5 \end{array}\right)[/tex]

Задачата е да се намери обратната и матрица:

1)Намерих Детерминантата:
det A = [tex]\left|\begin{array}{rrrrrrrrr} 5 & 1 & 1 & 1 & ............. & 1 & 1 & 1 \\1 & 5 & 1 & 1 & ............. & 1 & 1 & 1 \\1 & 1 & 5 & 1 & ............. & 1 & 1 & 1 \\ . & . & . & . & ............. & . & . & . \\ . & . & . & . & ............. & . & . & . \\ . & . & . & . & ............. & . & . & . \\ . & . & . & . & ............. & . & . & . \\ . & . & . & . & ............. & . & . & . \\ 1 & 1 & 1 & 1 & ............. & 1 & 5 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & ............. & 1 & 1 & 5 \end{array}\right|[/tex] = [tex](n+4)*4^{n-1}[/tex]

2)Някак си напаснах матрицата до:

[tex]A^{-1}= \frac{1}{(n+4)*4^{n-1}}*\left(\begin{array}{rrrrrrrrr} 4^{n-1} & 0 & 0 & 0 & ............. &0 & 0 & 0 \\0 & (n+4)*4^{n-2} & 0 & 0 & ............. & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 &(n+4)*4^{n-2} & 0 & ............. & 0 & 0 & 0 \\ . & . & . & . & ............. & . & . & . \\ . & . & . & . & ............. & . & . & . \\ . & . & . & . & ............. & . & . & . \\ . & . & . & . & ............. & . & . & . \\ . & . & . & . & ............. & . & . & . \\0 & 0 & 0 & 0 & ............. & 0 & (n+4)*4^{n-2} & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & ............. & 0 & 0 &(n+4)*4^{n-2} \\\end{array}\right) [/tex]

3)Реших да я сметна с Гаус - Джордан и получих:
[tex]\left(\begin{array}{rrrrrrrr|rrrrrrrr} 1 & 0 & 0 & 0 & ............. & 0 & 0 & 0 & \frac{m+5}{4(m+4)} & \frac{1}{4(m+4)} & \frac{1}{4(m+4)} & \frac{1}{4(m+4)} & ............. & \frac{1}{4(m+4)} & \frac{1}{4(m+4)} & \frac{1}{4(m+4)} & \frac{1}{4(m+4)} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & ............. & 0 & 0 & 0 & \frac{-1}{4(m+4)} & \frac{-(m+3)}{4(m+4)} & \frac{-1}{4(m+4)} & \frac{-1}{4(m+4)} & ............. & \frac{-1}{4(m+4)} & \frac{-1}{4(m+4)} & \frac{-1}{4(m+4)} & \frac{-1}{4(m+4)}\\ 0 & 0 & 1 & 0 & ............. & 0 & 0 & 0 & \frac{-1}{4(m+4)} & \frac{-1}{4(m+4)} & \frac{-(m+3)}{4(m+4)} & \frac{-1}{4(m+4)} & ............. & \frac{-1}{4(m+4)} & \frac{-1}{4(m+4)} & \frac{-1}{4(m+4)} & \frac{-1}{4(m+4)} \\ . & . & . & . & ............. & . & . & . \\ . & . & . & . & ............. & . & . & . &. & . & . & . & ............. & . & . & .\\ . & . & . & . & ............. & . & . & . &. & . & . & . & ............. & . & . & .\\ . & . & . & . & ............. & . & . & . &. & . & . & . & ............. & . & . & . \\ . & . & . & . & ............. & . & . & . &. & . & . & . & ............. & . & . & . \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ............. & 0 & 1 & 0 & \frac{-1}{4(m+4)} &\frac{-1}{4(m+4)} & \frac{-1}{4(m+4)} & \frac{-1}{4(m+4)} & ............. & \frac{-1}{4(m+4)} & \frac{-1}{4(m+4)} & \frac{-(m+3)}{4(m+4)} & \frac{-1}{4(m+4)}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & ............. & 0 & 0 & 1 & \frac{-1}{4(m+4)} &\frac{-1}{4(m+4)} & \frac{-1}{4(m+4)} & \frac{-1}{4(m+4)} & ............. & \frac{-1}{4(m+4)} & \frac{-1}{4(m+4)} & \frac{-1}{4(m+4)} & \frac{-(m+3)}{4(m+4)} \\\end{array}\right)[/tex] ,което май не е същият отговор.

Може ли някой да погледне и да ми каже къде съм сбъркал.Както и в такъв вид ли се оставят обратните матрици.

Всъщност източника е: http://www.fmi.uni-sofia.bg/algebra/exams/algstr/algstr_infsys_jan2008.pdf
но никъде не открих решения;(

Благодаря предварително!

[Реклама]

[nikko1]

[tex]A^{-1}=\text{diag}\left(\frac{n+3}{4(n+4)}\right)-\frac{1}{4(n+4)}(Q-E)[/tex], където с Q е означена матрица nxn от единици, а E е единичната матрица nxn. Или казано с други думи обратната матрица има [tex]\frac{n+3}{4(n+4)}[/tex] по главния диагонал, а всички останали елементи са [tex]-\frac{1}{4(n+4)}.[/tex]

Детерминантата на А си я пресметнал правилно [tex](n+4).4^{n-1}[/tex]. Остава да видим адюнгираните количества. Първо ще сметна [tex]\Delta_{12},[/tex] а след това ще докажа, че всички адюнгирани количества са равни. Имаме
[tex]\Delta_{12}=\left|\begin{array}{rrrrrr}\not{5}&\not{1}&\not{1}&\not{1}&\dots&\not{1}\\1&\not{5}&1&1&\dots&1\\1&\not{1}&5&1&\dots&1\\1&\not{1}&1&5&\dots&1\\\dots&\dots&\dots&\dots&\dots&\dots\\1&\not{1}&1&1&\dots&5\end{array}\right|,[/tex] умножаваме първи ред по -1 и прибавяме към всички други, остава детерминанта в горно триъгълен вид с диагонал 1, 4, 4, ..., 4 и окончателно [tex]\Delta_{12}=4^{n-2}.[/tex]
Понеже матрицата A е симетрична, такава ще е и обратната и, така че ще разсъждаваме само за елементите над главния диагонал, т.е. [tex]i<j.[/tex]
Ако зачеркнем i-ти ред и i-ти стълб, то получаваме същата детерминанта, но от ред n-1.
[tex]\Delta_{ij}[/tex] е детерминанта, която е същата както [tex]\Delta_{12}[/tex], но реда и стълба с единиците (които за [tex]\Delta_{12}[/tex] са си 1-ви ред и първи стълб) при нея са съответно [tex]j-1[/tex]-ви ред и [tex]i[/tex]-ти стълб. Тогава правим [tex]j-2[/tex] смени на редове и [tex]i-1[/tex] смени на стълбове и достигаме до [tex]\Delta_{ij}=(-1)^{i+j-1}\Delta_{12}=(-1)^{i+j-1}4^{n-2}.[/tex]
Получаваме [tex]A_{ij}=(-1)^{i+j}\Delta_{ij}=(-1)^{i+j}(-1)^{i+j-1}4^{n-2}=(-1)^{2(i+j)-1}4^{n-2}=-4^{n-2}.[/tex]
Остава да разделим на детерминантата и получаваме:
- за диагоналните елементи [tex]\frac{(n+3)4^{n-2}}{(n+4)4^{n-1}}=\frac{n+3}{4(n+4)}\ \;[/tex]
- за елементите извън главния диагонал [tex]\frac{-4^{n-2}}{(n+4).4^{n-1}}=\frac{-1}{4(n+4)}.[/tex]

Проверка. Да умножим i-ти ред на A с i-ти стълб на [tex]A^{-1}[/tex]. Получаваме
[tex]1.\frac{-1}{4(n+4)}+\dots+1.\frac{-1}{4(n+4)}+5.\frac{n+3}{4(n+4)}+1.\frac{-1}{4(n+4)}+\dots+1.\frac{-1}{4(n+4)}=(n-1)\frac{-1}{4(n+4)}+\frac{5n+15}{4(n+4)}=\frac{4n+16}{4(n+4)}=1.[/tex]
Да умножим i-ти ред на A с j-ти стълб ([tex]i\neq j[/tex]) на [tex]A^{-1}[/tex]. Ще получим n-2 пъти [tex]1.\frac{-1}{4(n+4)}[/tex], един път [tex]5.\frac{-1}{4(n+4)}[/tex] и един път [tex]\frac{n+3}{4(n+4)}[/tex] или общо
[tex](n+3)\frac{-1}{4(n+4)}+\frac{n+3}{4(n+4)}=0.[/tex]
Това показва, че обратната матрица (понеже тя е единствена) е точно тази.

[taskovn]

Мерси много!Съжалявам,че не мога да ти дам положителен вот;(А относно записа - значи не мога да оставя обратната матрица в този вид:

[tex]A^{-1}= \frac{1}{(n+4)*4^{n-1}}*\left(\begin{array}{rrrrrrrrr} 4^{n-1} & 0 & 0 & 0 & ............. &0 & 0 & 0 \\0 & (n+4)*4^{n-2} & 0 & 0 & ............. & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 &(n+4)*4^{n-2} & 0 & ............. & 0 & 0 & 0 \\ . & . & . & . & ............. & . & . & . \\ . & . & . & . & ............. & . & . & . \\ . & . & . & . & ............. & . & . & . \\ . & . & . & . & ............. & . & . & . \\ . & . & . & . & ............. & . & . & . \\0 & 0 & 0 & 0 & ............. & 0 & (n+4)*4^{n-2} & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & ............. & 0 & 0 &(n+4)*4^{n-2} \\\end{array}\right) [/tex] ?

[nikko1]

Обратната матрица е [tex]A^{-1}=\frac{1}{4(n+4)}\left(\begin{array}{ccccc}n+3&-1&-1&\dots&-1\\-1&n+3&-1&\dots&-1\\\dots&\dots&\dots&\dots&\dots\\-1&-1&-1&\dots&n+3\end{array}\right).[/tex]