Птостранство от симетрични матрици

[Nona]

Да се определи размерността на пространството на симетричните матрици от ред [tex]n[/tex]x[tex]n[/tex].


*симетрична матрица: [tex]A=A^t, \ \ \cyr{t.e.} \ \ a_{ij}=a_{ji}, \ \ i,j\in\left{1,\cdots,n\right}[/tex]


Отговор: [tex]\frac{n(n+1)}{2}[/tex]

[Реклама]

[nikko1]

За да намерим размерността трябва да преброим базисните вектори.
Нека [tex]E_{ij}[/tex] е матрица, в която всички елементи са нули с изключение на i-ти ред и j-ти стълб, където стои 1. В една симетрична матрица по главния диагонал може да има произволни числа, така [tex]E_{11},\ E_{22},\dots,\ E_{nn}[/tex] са от базиса - общо n елемента. Освен това в симетричната матрица [tex]a_{ij}=a_{ji}[/tex] (затова се нарича и симетрична, т.к. елементите симетрично разположение спрямо главния диагонал са равни.) Тогава другите базисни матрици са [tex]E_{ij}+E_{ji},\ i\neq j[/tex] - още [tex](n-1)+(n-2)+\cdots+2+1=\frac{(n-1)n}{2}[/tex]. Тогава базиса се състои от
[tex]n+\frac{(n-1)n}{2}=\frac{n(n+1)}{2}[/tex] елемента и следователно пространството на симетричните матрици има такава размерност.