Топлообмен

[dgs]

Имаме два съда от по 1 литър пълни с вода.
Водата в първия съд е с температура 20 градуса (Целзий)
Водата във втория съд е с температура 90 градуса (Целзий)

Имаме на разположение каквито си искаме допълнителни съдове и топлообменници (за течности) с идеални топлообменни характеристики.

Можем ли с помощта на тези топлообменници да загреем водата от първия съд до температура 60 градуса или повече, използвайки (само) по-топлата вода от втория съд ?
Т.е. можем ли да направим така, че водата от първия съд да се повиши до температура 60 градуса (или повече), за сметка на температурата на водата от втория съд, която съответно ще се понижи до 50 градуса (или по-малко).

Нямаме право да смесваме водата от двата съда - можем да правим само топлообмен с помощтта на топлообменниците.

Колко е максималната температура, до която можем да загреем водата от първия съд ?

[Реклама]

[dgs]

Минаха почти 30 часа от публикуването на задачата - затова едно леееекичко подсказване:

Ако вземем двулитров съд и изсипем там водата от първоначалните два съда, то температурата на тези два литра вода ще стане 55 градуса по Целзий.

Но, отговора на въпроса
Колко е максималната температура, до която можем да загреем водата от първия съд ?
не е 55 градуса.

[dgs]

Вероятно първата мисъл на човек след като прочете условието е, че няма как температурата на водата в първия съд да стане по-висока от 55 градуса, защото това ще противоречи на основни закони от физиката. Но това е подвеждаща и направилна мисъл, защото има как да се повиши температурата над 55 градуса, без това да противоречи на законите на физиката.
Например:
Ако разделим горещата вода на две равни части и после последователно направим тоблообмен на тези две части с водата от първия съд, то температурата на водата от първия съд ще се повиши (ако не съм объркал сметките) до (58 + 8/9) градуса по Целзий ... което е по-топло от 55 градуса по Целзий.

[Volen Siderov]

Ако коли4еството енергия зависи правопропорц. от температурата мисля 4е грешиш.
Ако Q=kMt и в слу4ая вземем стоиност за к=1 таи като то не играе роля то имамаме:
M-един литър Т1=20 Т2=90 M=nm n-произволно цяло число
почваме да добавяме части кам единия съд
Q1=MT1 + mT2=(M+m)t1 t1=MT1+mT2/(M+m)

Q2= (M+m)t1 + mT2=MT1+2mT2=(M+2m)t2 t2=MT1+2mT2/(M+2m)

tn=MT1+nmT2/(M+nm)=T1+T2/2=55
дори и да не прибавяме равни части пак се полу4ава същото

[dgs]

[Volen Siderov]

смятаи мноо яко да .Така е.И се получава много интересно.Интересно е до колко градуса можеш така да качиш температурата.Или казано матем какво ще стане ако правим n(безкраино много пъти) процедурата.Извинявам се че не мога да напиша всичко като хората ама поне ще го обясня.Имаме на4ална температура на 1-ия обем вода t0,а на втория да е T.Масите са M,а деленията са n.Търсим какво става при n-безкраиност.Последователно имаме:
Mt0 + (M/n)T=(M +M/n)t1 или t1=(n/n+1)t0 +T/(n+1)
после
Mt1 + (M/n)T=(M + M/n)t2 или t2=(n/n+1)t1 +T/n+1
t2=(n/n+1)^2 t0 + (n/n+1)T/(n+1) + T/(n+1)
....
tn=(n/n+1)^n t0 + (n/n+1)^(n-1) T/(n+1) +.....+ n/(n+1)T/(n+!) + T/(n+1)
при n безкраиност решаваме границата.Представям го така:
tn=t0 1/(1+1/n)^n + T/(n+1)( 1+n/(n+1)+......+(n/(n+1))^(n-1) )
първото събираемо е t0/e а израза в скобите е геометри4ен сбор S
S=1+k+k^2 +....+ k^(n-1)=(1-k^n) /(1-k)=(1-1/e)/(n+1-n) (n+1)=(n+1)(1-1/e)
и накрая
tn=t0/e+T(1-1/e)=T - (T-t0)/e=90 - 70/2.7=90-26=64
зна4и ако тва е вярно можеш да ка4иш тепмературата до около 64 градуса

[Volen Siderov]

за теб сега остава да покажвш 4е не е по добре ако прибавяме равни 4асти ами че дори и при произволни (нееднакви) част ще е по малко от 64 градуса

[dgs]