Интеграл от изпит в ТУ

[blaze_]

Мислех, че съм се справил долу горе със долуспоменатия интеграл, но се оказа, че не е така. Та ако може някой да го реши и да го обясни ще съм благодарен.

А ето го и него:

[tex]\int \frac {\cos^2x}{\sin^4x +\cos^4x}dx[/tex]

[Реклама]

[r2d2]

Добре де, покажи до къде си стигнал?

[blaze_]

Еми почвам го така:


[tex]\int \frac {\cos^2x}{1 - 2 \sin^2x \cos^2x}dx[/tex]



[tex]\frac {1}{2}\int \frac {d\sin^2x}{1 - 2 \sin^2x (1 - \sin^2x)}[/tex]



[tex]\frac {1}{2}\int \frac {d\sin^2x}{2 \sin^4x - 2 \sin^2x + 1}[/tex]


Тука полагам [tex]\sin^2x = t[/tex]
Следователно ще получим:

[tex]\frac {1}{2}\int \frac {dt^2}{2t^2 - 2t + 1}[/tex]

И имаме разлагане на дроби с комплексни корени, което не можах да го направя като цяло. Стигнах донякъде, но не ми остана и време.

Но учителя ми каза, че не ми е верен реда където внасям [tex]\cos^2x[/tex] в dx като [tex]\frac {1}{2} d \sin^2x[/tex].....не разбрах защо не може просто.

[Mandos]

[blaze_]

Май трябва да се върна няколко години назад...Ще я мъча по друг начин значи.

Мерси за уточнението

[r2d2]

Само начало, ако в подинтегралната ф-я заместиш [tex]\sin x[/tex] c [tex]\;-\sin x \; \cos x[/tex] c [tex]\; -\cos x[/tex] тя не се променя. За такива функции полагането е [tex]\tan x=u.[/tex]

[blaze_]

Не мога да го направя с такова полагане нещо...Даже си нямам идея dx как ще стане...
Ако може малко повече насоки, моля?

[ганка симеонова]

Като за начало се опитай да представиш подинтегралната функция, като функция само на [tex]tgx [/tex]. Лека тригонометрия

[blaze_]

Е не го виждам... Просто не мога да видя как да разложа знаменателя...

[ганка симеонова]

[tex]\frac{cos^2x(cos^2x+sin^2x)}{cos^2x+sin^2x }=\frac{cos^4x+cos^2xsin^2x}{ cos^2x+sin^2x } [/tex]
Сега раздели числителя и знаменателя на [tex]cos^4x=>\frac{1+tg^2x}{1+tg^4x }=\frac{1+u^2}{1+u^4 } [/tex]
Отнсоно диференциала [tex]tgx=u=>x=arctgu=>dx=\frac{1}{1+u^2 }du [/tex]
=>[tex]\int_{}^{ } \frac{1+u^2}{1+u^4 } .\frac{1}{ 1+u^2} du=\int_{}^{ } \frac{du}{1+u^4 } [/tex]

[blaze_]

Мерси много А то да е толкова очевадно, но като не го виждаш...

arctg(tg²(x)) ли трябва да е? Тези функции така и не се научих да ги разлагам

[ганка симеонова]

[sladura89]

абе незнам ама имам чувството че ми говорите на китайски???? Нищо не схващам от тия гадните интеграли

[ганка симеонова]

Споко, и аз нищо не схващам от японски език