Кутия с топки и думи

[Hannibal]

зад 1. В кутия има 2 жълти, 4 сини и 7 зелени топки. Топките се изваждат една по една като се записва редът на изваждане.
a) По колко начина могат да бъдат извадени всички топки ?
b) В колко от случаите за всеки цвят е изпълнено условието – топките от този цвят не са извадени една след друга.

а)13!
б) не знам



зад 2. Да се определи броят на думите с дължина n над азбуката A ={ a, b, c, d }, в които има нечетен брой букви a.

Всичките думи са [tex]4^n[/tex]- четните
Но четните срещания на а как ще ги намерим?

[Реклама]

[garion]

1зад.
а) имаш вариация с повторения(директна формула) - [tex]V=\frac{(n_1+n_2+...+n_k)!}{n_1!.n_2...n_k!}[/tex], където n₁+n₂+...+n_n = n, a n_i е повторението на i-тия елемент
за другите като помисля, пек ще пиша

[garion]

2 зад.
[tex]C_n^1.3^{n-1}[/tex] - за 1 а
[tex]C_n^3.3^{n-3}[/tex] - за 3 а
....
[tex]C_n^i.3^{n-i}[/tex] - за i на брой а
но трябва да се разгледат два случая за n, да се разпишат подробно и да се види какво ще излезе

[Hannibal]

Първата дето си я решил за а) подточка ли е? Ама моля пак да я обясниш,че само от формулата не я разбрах.За втората:
Ако n е четно и
[tex]4^n- \sum_{i=1}^{\frac{n}{2 }} {n\choose 2i}{\left(3^{n-2i})\right}[/tex]
Ако n е нечетно
[tex]\green\displaystyle 4^n- \sum_{i=1}^{\frac{n-1}{2 }} {n\choose 2i}{\left(3^{n-2i})\right}[/tex]
Така ли ?

[garion]

първата дето съм я решил е за а подточка. малко разяснения.
Това че е записан реда на изваждане означава че има значение и за това е вариация.
Сега нека приемем че всички топки са различими - тогава всички топки могат да бъдат извадени по n! различни начина. Тъй като в случая имаме 2 жълти топки които са неразличими - нека например се намират на позиция 1 и 2 - тогава тях можем да ги разместваме както си искаме и конкретната вариация няма да се промени. Тях(само жълтите топки) можем да ги наредим по 2! начина. Но това е в сила за всяка подредба на топките(не само когато са на 1 и 2 позиция).Следователно в общия случай сме преброили 2! пъти повече случая, за жълтите топки, отколко са реалните. Аналогично сме преброили 4! пъти повече случая за сините и 7! пъти повече за зелените топки. Окончателно отговора е [tex]\frac{13!}{2!.4!.7!}[/tex]. Това което ти бях написал е общата формула за вариация с повторения.

За втора задача само дадох насока че ме мързеше да смятам чак толкова много. Иначе това което си написал са отговорите.
П.П. всъщност трябва да извадиш и случая когато i=0 защото 0 е четно все пак , т.е. на Суамта отдолу трябва да е i=0, а не i=1

[garion]

1б)
ако обърнеш внимание на стойностите ще забелеши че общо са 13 топки, от които имаме 7 зелени и единствения вариант да няма едноцветни топки една до друга е те да са на нечетните позиции. тогава другите топки са на четните позиции и няма как да бъдата една до друга и остава да преброим по колко начина могат 2 жълти и 4 сини топки да се наредят на 6 позиции. тук вече изчислението е аналогично на а подточка a и окончателно отговора е [tex]\frac{6!}{2!.4!}[/tex]

[Hannibal]

Много,благодаря.Вече ми се изясниха .