Логаритмично неравенство .........

[mathinvalidnik]

[tex]log_{x-3}(x^{2}-4x)^{2}\le 4[/tex]

[Реклама]

[naitsirk]

За ДМ имаме [tex]x>3,x\ne 4[/tex]
I сл. x-3<1 <=> 3<x<4
Антилогаритмуваме като сменяме посоката на неравенството.
[tex](x^2-4x)^2\ge (x-3)^4[/tex]
[tex](x^2-4x)^2\ - (x-3)^4\ge0[/tex]
[tex][x^2-4x-(x-3)^2][x^2-4x+(x-3)^2]\ge 0[/tex]
[tex](2x-9)(2x^2-10x+9)\ge 0[/tex]. Решаваш по метода на интервалите и сечеш с условието 3<x<4. Вторият случай x>4 е аналогичен, само не сменяш посоката на неравенството.
Edit: ако свалиш 2-ката от степента в логаритъма трябва да сложиш израза в него в модул

[mathinvalidnik]

Ами нищо не каза за аргумента при логаритъма - > [tex] (x^{2}-4x)^{2}[/tex]....имаш неизвестно.....а и е на квадрат

[naitsirk]

[mathinvalidnik]

Имах предвид,че неизвестното в аргумента може да е както отрицателно така и положително така,че се разглеждат 2 случая

1)

[tex]x^{2}-4x>0 ; x\in (-\infty ;0) U (4;+\infty )[/tex]

Тогава ша стане [tex](x^{2}-4x)^{2}\le (x-3)^{4} ; (x^{2}-4x) \le (x-3)^{2}[/tex]

Като решиш неравенството [tex]x^{2}-4x\le x^{2}-6x+9;x\le 4,5[/tex] И като го засечеш с горната ДО излиза,че [tex]x\in (4;4,5][/tex]

2)
[tex]x^{2}-4x<0 ; x\in (0;4) [/tex]
[tex]-(x^{2}-4x)\le (x-3)^{2}[/tex] (нали знаеш от къде дойде...) ...... ; [tex]2x^{2}-10x+9\ge 0[/tex]

Тука в като го пресметнеш излиза,че
x[tex]\in (-\infty ;\frac{5-\sqrt{7} }{2 } ) U (\frac{5+\sqrt{7} }{2 };+\infty )[/tex]

След това му правиш сечение с от 0 до 4 и става,че
[tex]x\in (0;\frac{5-\sqrt{7} }{2 }) U (\frac{5+\sqrt{7} }{2 };4)[/tex]

и.... третия случай,когато основата е между 1 и 0 тогава 3<x<4 и пак там решаваш още 2 случая,един от които отпада и така.....

[naitsirk]

да но при мен тези подслучаи отпадат, защото не коренувам и 2-те страни на неравенството пробвай и ще видиш...

[mathinvalidnik]

[mathinvalidnik]

Да почнем от там че основата трябва да е различна от 1 и по-голяма от нула...

|x-3>0 |x>3
|[tex]x-3\ne 1 [/tex] |[tex]x\ne 4[/tex]

Първи случай:

x-3>1;[tex]D_{1}[/tex] x>4

[tex]log_{x-3}(x^{2}-4x)^{2}\le log_{x-3}(x-3)^{4}[/tex]

1)Ако [tex](x^{2}-4x) >0[/tex]

в такъв случай имаме [tex](x^{2}-4x)^{2}\le (x-3)^{4}[/tex],което е еквивалентно на [tex]x^{2}-4x\le (x-3)^{2}[/tex]....след пресмятания на неравенството получаваме,че [tex]2x\le 9;x\le 4,5[/tex] .След като се засече с [tex]D_{1}[/tex],получаваме,че [tex]x\in (4;4,5][/tex]

2)Ако [tex](x^{2}-4x) < 0[/tex] Тогава хикс принадлежи на интервала от (0;4) [tex]D_{2}[/tex] и става следното....

[tex]-(x^{2}-4x)\le (x-3)^{2}[/tex],аналогично от първия пример ....след опростяване на неравенството се стига до.... [tex]2x^{2}-10x+9\ge 0[/tex],където
[tex]x_{1}=\frac{5+\sqrt{7} }{2 }[/tex] ;[tex]x_{2}=\frac{5-\sqrt{7} }{2 }[/tex]

Параболата на кв. уравнение е обърната на горе и пресича абцисата в тия две точки следователно
[tex]x\in (-\infty ;\frac{5-\sqrt{7} }{2 }) U (\frac{5+\sqrt{7} }{2 };+\infty )[/tex] присечението си с [tex]D_{2}[/tex] се получава,че
[tex]x\in (0;\frac{5-\sqrt{7} }{2 })U(\frac{5+\sqrt{7} }{2 };4)[/tex]

Втори случай:

0<x-3<1 или 3<x<4 [tex]D_{3}[/tex]

Тук пак би трябвало да се разгледат 2 случая при които аргумента е положително число и когато аргумента е отрицателно число.Аз съм го решавал и при [tex]x^{2}-4x[/tex]>0 [tex]D_{1}[/tex] и [tex]D_{3}[/tex] нямат пресечни точки следователно и няма решения(Ако някой се съмнява да си направи сам проверката... )

Както и да е.... решения има само,когато [tex]x^{2}-4x<0[/tex]

и когато направим сечението на [tex]D_{2}[/tex] И [tex]D_{3}[/tex] виждаме,че те имат пресечни точки и те са [tex]x\in (3;\frac{5+\sqrt{7} }{2 } )[/tex] U [tex](4;4,5] [/tex]....

[naitsirk]

Така, сега специално за kristian.azmanov
[tex]log_{x-3}(x^2-4x)^2\le 4[/tex]
За ДМ имаме: [tex]x-3> 0,x-3\ne 1,x(x-4)\ne 0[/tex] <=> [tex]x>3,x\ne 4[/tex]

I сл. [tex]0<x-3<1<=>3<x<4[/tex] сменяме посоката на неравенството
[tex](x^2-4x)^2\ge (x-3)^4[/tex]
[tex](x^2-4x)^2-(x-3)^4\ge 0[/tex]
[tex][x^2-4x-(x-3)^2][x^2-4x+(x-3)^2]\ge 0[/tex]
[tex](x^2-4x-x^2+6x-9)(x^2-4x+x^2-6x+9)\ge 0[/tex]
[tex](2x-9)(2x^2-10x+9)\ge 0[/tex]
[tex]x_1=\frac{9}{ 2},x_{2,3}=\frac{5\pm \sqrt{7} }{2 } [/tex]. Сега да определим как са разположени върху числовата ос.
[tex]2<\sqrt{7}<3 [/tex]=>
[tex]\frac{5+2}{2 }<x_2<\frac{5+3}{2 }=> 3,5<x_2<4 [/tex]
[tex]\frac{5-3}{2 }<x_3<\frac{5-2}{2 }=> 1<x_3<1,5 [/tex]
=>че решенията на неравенството са: [tex]x\in [\frac{5-\sqrt{7} }{2 };\frac{5+\sqrt{7} }{2 } ]\cup [\frac{9}{2 };+\infty ) [/tex], но като имаме предвид, че [tex]3<x<4[/tex] от този случай имаме: [tex]x\in (3;\frac{5+\sqrt{7} }{2 }] [/tex].
II сл. [tex]x-3>1<=>x>4[/tex] запазваме посоката на неравенството. Преоразованията са аналогични. Получаваме:
[tex](2x-9)(2x^2-10x+9)\le 0[/tex] Разположението на корените е същото и за решения на неравенството получаваме: [tex]x\in (-\infty ;\frac{5-\sqrt{7} }{2 }]\cup [\frac{5+\sqrt{7} }{2 };\frac{9}{2 }] [/tex] и имайки предвид, че [tex]x>4[/tex] получаваме: [tex]x\in (4;\frac{9}{2 }] [/tex]. Обединяваме решенията от двата случая. Окончателно решение на задачата е: [tex]x\in (3;\frac{5+\sqrt{7} }{2 }]\cup (4;\frac{9}{2 }] [/tex].

[ганка симеонова]

Всичко е добре,когато свършва добре

[naitsirk]

[mathinvalidnik]

Няма лоши чувства .... просто ме мързеше да мисля за алтернативни решения .. обаче решението на найтсирк ми хареса.... и е по-рационално от моето така,че ти печелиш

П.П Имаш грешка на 2ри ред ..... виж пак ДМ дали е така