Две задачи за инерчен момент

[lub4o]

1зад. Две топчета (материални точки)с маси m₁ и m ₂ са прикрепени към двата края на пръчка с дължина L. Масата на пръчката се пренебрегва.Определете инерчния момент на тази система спрямо ос, перпендикулярна на пръчката, която преминава през центъра на масите на системата.

2зад.Твърдо тяло с инерчен момент I, което отначало е в покой, започва да се върти около неподвижна ос и постоянно ъглово ускорение ε. Изразете кинетичната енергия на тялото като финкция на времето t.

[Реклама]

[Mandos]

1 зад. Първо намираме центъра на масите на системата (за начало на координатната система за по-просто избираме m1):
[tex]r_c= \frac{\sum_{i}^{ }m_i x_i}{\sum_{i}^{ }m_i} = \frac {m_1 (0) + m_2(L)}{m_1+m_2} = \left(\frac{m_2}{m_1+m_2} \right)L[/tex]
И след това изразът за инерчния момент става: [tex]I = \sum_{i}^{ }m_i r_i^2 = m_1\left[\left(\frac{m_2}{m_1+m_2} \right)L \right]^2+m_2 \left [L-\left(\frac{m_2}{m_1+m_2} \right)L\right]^2[/tex], където [tex]\left(\frac{m_2}{m_1+m_2} \right)L[/tex] e разстоянието от m1 до оста на въртене (която по условие съвпада с центъра на масите) и [tex]L-\left(\frac{m_2}{m_1+m_2} \right)L[/tex] e разстоянието от m2 до същата ос

2 зад.
Ротационната кинетична енергия на въртящо се тялo с ъглова скорост [tex]\omega[/tex] e [tex]KE = \frac{1}{2}I\omega^2[/tex]. Знаем че ъгловото ускорение е [tex]\frac{d\omega}{dt} = \alpha [/tex]. Интегрираме последното за да получим израз за [tex]\omega[/tex]: [tex]\omega = \alpha t+C[/tex]. Tъй като C ни е интеграционна константа зависеща от началното условие, а то е че тялото почва от покой за t=0, то C=0 и накрая заместваме: [tex]KE(t) = \frac{1}{2}I\alpha^2t^2[/tex]