Да се докаже че : задача свързана с ъглополовяща

[profesora]

Даден е правоъгълен триъгълник с катети и хипотенуза съответно a b и c
AL е ъглополовяща
да се докаже че

CL=(a*b)/(b+c)

AL = b* целия следващ израз е под корен (2c)/(b+c)

Помогнете ми да намеря върната посока че незнам от каде да тръгна в задаата могат да се ползват и тригонометрични функции

[Реклама]

[Spider Iovkov]

В [tex]\triangle ABC[/tex] имаме [tex]BC=a, AC=b, AB=c[/tex], [tex]AL[/tex] е ъглополовяща. От свойството на ъглополовящата получаваме
[tex]\frac{AB}{AC}=\frac{LB}{LC} \Leftrightarrow \frac{LB}{LC}=\frac{c}{b} \Rightarrow LB=cx, LC=bx[/tex].
Но [tex]LB+LC=BC \Rightarrow bx+cx=a \Leftrightarrow (b+c)x=a \Leftrightarrow x=\frac{a}{b+c}[/tex]. [tex]LC=bx \Leftrightarrow LC=\frac{ab}{b+c}[/tex].
От [tex]\triangle ALC \Rightarrow AC^2+LC^2=AL^2 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow b^2+(\frac{ab}{b+c})^2=AL^2 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow AL^2=b^2[1+\frac{a^2}{(b+c)^2}] \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow AL=b\sqrt{\frac{(b+c)^2+a^2}{(b+c)^2}} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow AL=b\sqrt{\frac{\cancel {b^2}+2bc+ c^2+c^2-\cancel {b^2}}{(b+c)^2}} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow AL=b\sqrt{\frac{2c(b+c)}{(b+c)^2}} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow AL=b\sqrt{\frac{2c}{b+c}}[/tex].