Dr. Titu Andrescu, University of Texas at Dallas

[Titu_Andrescu]

Нека a,b,c,d са положителни реални числа. Да се докаже, че
3(a²-ab+b²)(c²-cd+d²)≥2(a²c²-abcd+b²d²).
Да се докаже че равенство се достига тогава и само тогава, когато a=(3+5^0.5)b/2,c=(3+5^0.5)d/2, или когато b=(3+5^0.5)a/2, d=(3+5^0.5)c/2.

Това че е дадено кога се достига равенство е нещо като подсказка. От него може да си направим изводите че неравенството на Коши-Буняковски-Шварц, неравенството на Чебишов, неравенствата между средните и т.н. няма да свършат работа, тъй като при тях равенство се достига при равни елементи. Друг е подходът към тази задача. Идеите на Titu винаги са малко по-оригинални, също като на Vasile Cartuaje и Bogdan Enescu.

[Реклама]

[krassi_holmz]

Оф топик - титу, може ли да попитам как ти е името къде учиш и имаш ли някаква връзка с Titu Andrescu?

[Titu_Andrescu]

Просто такъв ми е nick-a. Такива въпроси задавай на лични съобщения, а не като off-topic, защото е малко неприятно. И все пак предпочитам да не отговарям (някъде из отговорите съм споделил, че съм 12 клас в МГ)

[Мирослав Стоенчев]

Полагаме a/b=x, c/d=y; x,y-положителни числа.Разделяме изходното неравенство на b²d² и получаваме:
1) 3(x²-x+1)(y²-y+1)≥2[(xy)²-xy+1].
Полагаме xy=A, x+y=B, като A≤B²/4.
Разкриваме скобите в (1) и получаваме:
2) A²-(3B+1)A+3B²-3B+1≥0, при A≤B²/4.
Полагаме g(t)=t²-(3B+1)t+3B²-3B+1.
Ще докажем,че g(t)≥0 при t≤B²/4.
Ako D_g=-3(B²-6B+1)<0, то g(t)>0.
Нека D_g≥0, т.е. 3-2√2≤B≤3+2√2, то корените са t_1,2=[3B+1+-√D_g]/2.
Имаме g(0)=3B²-3B+1>0, следователно достатъчно е да покажем, че
3) B²/4≤min{ t₁, t₂}=[3B+1-√D_g]/2.
Полагаме z=√-(B²-6B+1). Toгава 3) <=> (z-√3)²≥0.
Остава да съобразим, че равенство се достига само при √-(B²-6B+1)=√3 и
4A=B² => x=y=B/2=(3+-√5)/2, т.е. а/b=c/d=(3+-√5)/2. Задачата е решена.