тригонометрично уравнение

[r2d2]

Решете:
[tex]\tan^22x+2\tan2x\tan3x-1=0[/tex]

[Реклама]

[NoThanks]

[tex]\tan^22x+2\tan2x\tan3x-1=0[/tex]
[tex]DM: x \ne \frac{\pi}{4}(2k+1) \; x\ne \frac{\pi}{6}(2k+1)[/tex]
[tex](tan2x+tan3x)^2 -tan^23x-1 =0[/tex]
[tex](\frac{sin2x}{cos2x}+\frac{sin3x}{cos3x})^2 = 1+ \frac{sin^23x}{cos^23x}[/tex]
[tex](\frac{sin5x}{cos2xcos3x})^2 = \frac{1}{cos^23x}[/tex]
[tex]\frac{sin5x}{cos2xcos3x}=\pm \frac{1}{cos3x}[/tex]
[tex]sin5x=cos2x <=> sin5x-sin(\frac{\pi}{2}-2x) = 0 <=> 2cos(\frac{3x+\frac{\pi}{2}}{2})sin(\frac{7x-\frac{\pi}{2}}{2})=0[/tex]
[tex]\frac{3x}{2}+\frac{\pi}{4} = k\pi + \frac{\pi}{2} => \frac{3x}{2}= \frac{\pi}{4}+k\pi => x = \frac{\pi}{6}+\frac{2\pi}{3}k[/tex]
[tex]\frac{7x}{2} - \frac{\pi}{4} = l\pi => x = \frac{\pi}{14} +\frac{2l\pi}{7}[/tex]
[tex]sin5x=-cos2x[/tex]
=>[tex]\frac{3x}{2}+\frac{\pi}{4} = m\pi => x=-\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi}{3}m[/tex]
[tex]\frac{7x}{2} -\frac{\pi}{4} = n\pi+\frac{\pi}{2} => x = \frac{3\pi}{14} +\frac{2n\pi}{7}[/tex]

[r2d2]

[NoThanks]

Окончателно отговорите са:
[tex]x=\frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3}[/tex]
[tex]x=\frac{\pi}{14}+\frac{2l\pi}{7}[/tex]
[tex]x=-\frac{\pi}{6} + \frac{2m\pi}{3}[/tex]
[tex]x=\frac{3\pi}{14}+\frac{2n\pi}{7}[/tex]
(бях преписал един минус грешно и беше станал малък гаф). За ДС имаме: k->само нечетно; m-> нечетно.

[r2d2]

Ако при решаването на едно уравнение, човек получи безброй много (не 1 или 2) грешни отговори, каква оценка заслужава?
Пример:
Решава x^2=4 и пише всяко цяло число е решение. Намерил е корените 2 и -2 и още безброй много грешни! Колко заслужава?

[martosss]

аз получих
[tex]x=\pm\frac{\pi}{6}+\frac{2}{3}k\pi\\x=\pm \frac{\pi}{14}+\frac{2}{7}l\pi[/tex]
Като част от отговорите се засичат при [tex]-\frac{\pi}{2}[/tex] и [tex]\frac{\pi}{2}[/tex]

[r2d2]

[martosss]

опа... този [tex]\frac{\pi}{6}[/tex] от ДС го смятам за 60° Значи отговорите стават

[tex]x=\frac{\pi}{14}\left(\pm 1+4k\right)\;\; ,\pm 1+4k\ne 7l[/tex]

[martosss]

Ок, ще кажа, че е същото като на NoThanks с изключение на Д.С. и на пресмятането на sin5x=-cos2x и ще опиша моя вариант за тези две неща

[tex]D.S.\begin{tabular}{|1} cos2x\ne 0\\cos3x\ne 0\end{tabular}\Right \begin{tabular}{|1}x\ne \frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\\x\ne \frac{\pi}{6}+l\frac{\pi}{3}\end{tabular}[/tex]
а за втората част правя следното:

[tex]cos(2x)=-sin(5x)=sin(-5x)=cos(\frac{\pi}{2}+5x)\\cos(5x+\frac{\pi}{2})=cos(2x)\\\left{5x+\frac{\pi}{2}=2x+2p\pi\\ 5x+\frac{\pi}{2}=-2x+2r\pi\right.\\\left{x=-\frac{\pi}{6}+p\frac{2\pi}{3}\\x=-\frac{\pi}{14}+p\frac{2\pi}{7}=\frac{\pi}{14}\left(-1+4p\right)\right.[/tex]
Сега аналогично за [tex]sin(5x)=cos(2x)[/tex] се получават

[tex]\left{x=\frac{\pi}{6}+p\frac{2\pi}{3}\\x=\frac{\pi}{14}+r\frac{2\pi}{7}=\frac{\pi}{14}\left(1+4p\right)\right.[/tex]

Сега ако си ги нанесем на единичната окръжност ще забележим, че първото решение и на двете уравненията съвпада с ДС, тоест не е решение, а от второто решение ни трябва [tex]4p\pm 1\ne 7t\Leftright p\ne \frac{7t\pm 1}{4}, t\in Z[/tex] и като че ли това е всичко

Окончателно [tex]x=\frac{\pi}{14}(\pm 1 +4p), p\ne \frac{7t\pm 1}{4},\;\; p,t\in Z[/tex]

[r2d2]

[tex]\tan^22x+2\tan2x\tan3x-1=0[/tex] ДС:[tex] \cos2x \ne 0 \; \cos3x \ne 0[/tex].

[tex]2\tan2x\tan3x=1-tan^22x[/tex] [tex],tan2x=0 [/tex]не дава решения (0=1) или[tex] \tan3x=\frac{1-tan^22x}{2\tan2x}=\cot(4x)=tan(\frac{\pi}{2}-4x) \Rightarrow[/tex]
[tex]\Rightarrow 3x=\frac{\pi}{2}-4x+k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi}{14}(2k+1)[/tex] k - цяло.

[tex]\cos2x=0 \;x=\frac{\pi}{4}(2n+1)[/tex]. Проверяваме има ли цели k,n за които [tex]\frac{\pi}{14}(2k+1)=\frac{\pi}{4}(2n+1)[/tex].
[tex]\frac{\pi}{14}(2k+1)=\frac{\pi}{4}(2n+1) \Rightarrow 2(2k+1)=7(2n+1)[/tex], което е невъзможно (от ляво четно,+а от дясно - нечетно).
Аналогично:
[tex]\cos3x=0 \;x=\frac{\pi}{6}(2n+1)[/tex].
[tex]\frac{\pi}{14}(2k+1)=\frac{\pi}{6}(2n+1)\Rightarrow 6k+3=14n+7 \Rightarrow 3k=7n+2=6n+3+n-1[/tex]. Виждаме, че n-1 не трябва да се дели на 3. Т.е. [tex]n \ne 3m+1 \Rightarrow k \ne 7m+3[/tex].

Oтговор: [tex]x=\frac{\pi}{14}(2k+1) \; k \ne 7m+3[/tex].