задачи от сфера и ротационни тела

[Маманадвама]

зад1 в правилна четериъгълна пресечена пирамида е вписано кълбо с радиус r. Ъгълат между околната стена и долната основа на пирамидата е \alpha . Намерете обема на пресечената пирамида.
зад2. основата на пирамида е триъгълник с дължина на едната страна а и мярка на срещу лежащ ъгъл \alpha . околните ръбове образуват с равнината на основата равни ъгли с мярка \beta . да се намери дължината на радиуса на описаната около пирамидат а сфера.

[Реклама]

[Spider Iovkov]

Задача 2. Нека дадената триъгълна пирамида да е [tex]ABCD[/tex] с основа [tex]\triangle ABC[/tex] и връх [tex]D[/tex]. Нека също така [tex]AC=a, \angle ABC=\alpha[/tex]. По условие околните ръбове на пирамидата сключват равни ъгли с нейната основа, откъдето [tex]\Rightarrow[/tex], че нейният връх се проектира в центъра на описаната около основата окръжност, например [tex]O[/tex]. Тогава [tex]OA=OB=OC=R'=\frac{a}{2 sin\alpha}[/tex]. Имаме и [tex]\angle DAO=\angle DBO=\angle DCO=\beta[/tex]. Тогава [tex]cos\beta=\frac{AO}{AD} \Leftrightarrow AD=\frac{AO}{cos\beta}=\frac{a}{2 sin\alpha cos\beta}[/tex]. Но и [tex]\tan\beta=\frac{DO}{AO} \Leftrightarrow DO=AO \tan\beta \Leftrightarrow DO=\frac{a \tan\beta}{2 sin\alpha}[/tex].
Сега, след като вече сме намерили височината на пирамидата и околния ръб, определяме и радиуса на описаната сфера: [tex]R=\frac{b^2}{2h}[/tex], където [tex]b[/tex] е дължината на околния ръб, а [tex]h[/tex] – на височината. [tex]R=\frac{\cancel a.a}{4 \cancel {sin\alpha} sin\alpha cos^2\beta}.\frac{\cancel {sin\alpha}}{\cancel a \tan\beta} \Leftrightarrow R=\frac{a}{4 sin\alpha cos\beta \cancel {cos\beta} .\frac{sin\beta}{\cancel {cos\beta}}} \Leftrightarrow R=\frac{a}{2 sin2\beta sin\alpha}[/tex].