две матрици

[zhivo_zad]

[Реклама]

[nikko1]

От къде тази задача? Едното условие е излишно.
Ако [tex]A+B=E,[/tex] то [tex]rank(A+B)=rank(E)=n[/tex], а от друга страна
[tex]n=rank(A+B)\leq rank(A)+rank(B)\leq n, [/tex] което е изпълнено само когато имаме равенство.

[zhivo_zad]

задачата е от студентска олимпиада на ФМИ 2005г.Защо rank(A)+rank(B)<=n

[nikko1]

Мда моя грешка.

Ето решение. Първо ще докажем, че A и B комутират.
[tex]A.E=A(A+B)=A^2+AB=E.A=(A+B).A=A^2+B.A\Leftrightarrow AB=BA.[/tex]
Освен това [tex]A^2=A.A=A(E-B)=A-AB[/tex], [tex]B^2=B.B=B(E-A)=B-BA.[/tex]
Ще докажем, че [tex]AB=BA=0[/tex] и така от горните равенства ще сме решили задачата.

Без ограничаване на общността на разсъжденията можем да считаме, че [tex]r(A)\geq r(B).[/tex]

I. [tex]r(A)=n, r(B)=0 \Rightarrow B=0, B^2=B=0, A=E, A^2=A=E.[/tex]

II. [tex]0<k=rank(B)\leq rank(A)=l<n.[/tex]
За всяка квадратна матрица съществува обратима матрица T, такава че [tex]T^{-1}AT=D=diag(J_1,J_2,\dots,J_s,0,\dots, 0)[/tex] е във жорданова форма, а всяка клетка [tex]J_i=\left(\begin{array}{ccccc}\lambda_0&1& & & & \\\ & \lambda_0&1& & & \\\dots&\dots&\dots&\dots&\dots&\\ & & & &\lambda_0\end{array}\right)[/tex] - жорданова клетка.

[tex]E=T^{-1}(A+B)T=T^{-1}AT+T^{-1}BT=D+T^{-1}BT \Leftrightarrow T^{-1}BT=E-D,[/tex] но [tex]rank(A)=l=rank(D)[/tex], [tex]rank(B)=k=n-l\geq rank(T^{-1}BT)[/tex] (по условие) и за да се получи сумата им единичната матрица ([tex]D+T^{-1}BT=E[/tex]), която има ранг n това неравенство се изпълняват като равенство. Освен това [tex]T^{-1}BT=E-D,[/tex] което показва, че по диагонала, там където D има нули [tex]T^{-1}BT[/tex] има единични матрици и обратно - там където [tex]T^{-1}BT[/tex] има нули по диагонала D има жораднови клетки (иначе сумата от ранговете на D и [tex]T^{-1}BT[/tex] ще е по-голяма от n, а тя е точно n).

[tex]AB=T^{-1}AB.T=T^{-1}AT.T^{-1}BT=D.T^{-1}BT=0,[/tex] защото ако разделим на клетки двете матрици, то се срещат винаги жораднови клетки с нулеви матрици или нулеви клекти с единични матрици.