Регистрирайте сеРегистрирайте се

ЗМС' 96


 
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Fri Jan 16, 2009 8:58 pm    Заглавие: ЗМС' 96

Да се намерят всички функции [tex]f:\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}[/tex] такива, че [tex]3f(n)-2f(f(n))=n[/tex], [tex]\forall n\in\mathbb{Z}[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Baronov
Напреднал


Регистриран на: 05 Jun 2008
Мнения: 316

Репутация: 55.4
гласове: 39

МнениеПуснато на: Fri Jan 16, 2009 10:56 pm    Заглавие:

Чудесен пример за идеята, която съм описал тук:
http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?p=47235#47235
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Sat Jan 17, 2009 10:33 am    Заглавие:

Да, така става Wink Разбира се има и друго по-елегантно решение (авторското). Опитай се да го откриеш Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
dim
Напреднал


Регистриран на: 28 Jul 2008
Мнения: 324

Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7
гласове: 21

МнениеПуснато на: Sat Jan 17, 2009 12:17 pm    Заглавие:

А какъв е смисълът и идеята на тези характеристични уравнения на рекурентна редица (разбрах вече как се извеждат, но само толкова) и по какъв принцип това уравнвние помага да се изведе общият член на редицата. Досега не съм се сблъсквал с такова "животно" и би било прекрасно ако някой може да изясни този аспект от решението.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
astateoftrance
Начинаещ


Регистриран на: 05 Feb 2008
Мнения: 57
Местожителство: Бургас
Репутация: 9.3Репутация: 9.3Репутация: 9.3Репутация: 9.3Репутация: 9.3Репутация: 9.3Репутация: 9.3Репутация: 9.3Репутация: 9.3
гласове: 1

МнениеПуснато на: Sat Jan 17, 2009 12:47 pm    Заглавие:

Ами, ако n=a0, f(n)=a1, f(f(n))=a2 и т.н., то те образуват рекурентна редица с характеристично уравнение 2x^2-3x+1=0, което е с корени 1 и 1/2.
От теорема имаме че a1=c1+ c2/2; a2=c1+ c2/4 и т.н. Но ако c2 различно от нула, то ще имаме такова цяло число k, че f(k) няма да е цяло. Противоречие.
==> c2=0 и f(f(n))=f(n)=n за всяко n-цяло.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
dim
Напреднал


Регистриран на: 28 Jul 2008
Мнения: 324

Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7
гласове: 21

МнениеПуснато на: Sat Jan 17, 2009 4:13 pm    Заглавие:

astateoftrance написа:
Ами, ако n=a0, f(n)=a1, f(f(n))=a2 и т.н., то те образуват рекурентна редица с характеристично уравнение 2x^2-3x+1=0, което е с корени 1 и 1/2.
От теорема имаме че a1=c1+ c2/2; a2=c1+ c2/4 и т.н. Но ако c2 различно от нула, то ще имаме такова цяло число k, че f(k) няма да е цяло. Противоречие.
==> c2=0 и f(n)=f(f(n)), откъдето следва че f(n)=n или е фиксирано цяло число.


Ако тоя отговор е за мене нещо хич не дава отговор на нито един мой въпрос. Мен не ми трябваше решение на задачата. Въпроса ми беше чисто теоретичен и се отнасяше за смисълътна характеристичните уравнвния и как с тяхна помощ може да се намери общивт член на редицата.

За да съм пределно ясен, ще кажа какво ми е ясно. Ясно ми е, че ако имаме рекурентната зависимост [tex]a_kx_{n-k}+a_{k-1}x_{n-k+1}+...+a_0x_n=0[/tex], то характеристичното у-е е: [tex]a_kt^n+a_{k-1}t^{n-1}+...+a_0=0[/tex]. Сега ако [tex]t_1,t_2,..,t_n[/tex] са корени на това у-е има някаква теорема според която [tex]x_n=c_1t_{1}^{n}+c_2t_{2}^{n}+...+c_nt_{n}^{n}[/tex]. Но какъв е видът на [tex]c_1,c_2,...,c_n[/tex], каква е тая теорема за общият член, как се доказва?


Последната промяна е направена от dim на Sat Jan 17, 2009 4:55 pm; мнението е било променяно общо 2 пъти
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
astateoftrance
Начинаещ


Регистриран на: 05 Feb 2008
Мнения: 57
Местожителство: Бургас
Репутация: 9.3Репутация: 9.3Репутация: 9.3Репутация: 9.3Репутация: 9.3Репутация: 9.3Репутация: 9.3Репутация: 9.3Репутация: 9.3
гласове: 1

МнениеПуснато на: Sat Jan 17, 2009 4:27 pm    Заглавие:

Честно казано не помня как се доказваше теоремата в момента. Смисълът е да можеш да си изведеш членовете на редицата по по-удобен за теб начин. Съответно наличията на някакво допълнително условие за редицата, която си съставил, в комбинация с вероятния удобен корен на характеристичното уравнение, който е логично да се получи ако задачата се решава така, ти свеждат задачата до нещо не толкова трудно. Надявам се този път да съм отговорил въпроса ти (като изключим частта с доказването на теоремата).
Edit: c1,c2,...,cn са определени еднозначно от първите n члена на редицата.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Sat Jan 17, 2009 4:40 pm    Заглавие:

Добре, а някой да знае как се доказва теоремата, защото именно това е интересното в случая (поне на мен де) Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
dim
Напреднал


Регистриран на: 28 Jul 2008
Мнения: 324

Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7
гласове: 21

МнениеПуснато на: Sat Jan 17, 2009 5:13 pm    Заглавие:

astateoftrance написа:
Честно казано не помня как се доказваше теоремата в момента. Смисълът е да можеш да си изведеш членовете на редицата по по-удобен за теб начин. Съответно наличията на някакво допълнително условие за редицата, която си съставил, в комбинация с вероятния удобен корен на характеристичното уравнение, който е логично да се получи ако задачата се решава така, ти свеждат задачата до нещо не толкова трудно. Надявам се този път да съм отговорил въпроса ти (като изключим частта с доказването на теоремата).
Edit: c1,c2,...,cn са определени еднозначно от първите n члена на редицата.


Това с еднозначното определение не съм много сигурен за него. Ето един прост птимер. [tex]x_{n+1}=\frac{1}{3}x_n[/tex]. Тогава [tex]x_n=C(\frac{1}{3})^n[/tex] и ограничения за [tex]C[/tex] освен [tex]C\ne 0[/tex] май нямаме. Това най-вероятно важи и за по-сложните случаи, когато имаме [tex]c_1,c_2,..,c_n[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
astateoftrance
Начинаещ


Регистриран на: 05 Feb 2008
Мнения: 57
Местожителство: Бургас
Репутация: 9.3Репутация: 9.3Репутация: 9.3Репутация: 9.3Репутация: 9.3Репутация: 9.3Репутация: 9.3Репутация: 9.3Репутация: 9.3
гласове: 1

МнениеПуснато на: Sat Jan 17, 2009 7:19 pm    Заглавие:

Може и да бъркам, но в случая става въпрос за редица от втори и по-горен ред. Иначе се получава някакъв вид прогресия (в твоя случай геометрична), а за прогресиите си има отделни формули.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Sun Jan 18, 2009 7:17 pm    Заглавие:

Хайде някой да потърси и по-елегантно решение Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Wed Jan 21, 2009 8:10 pm    Заглавие:

Понеже явно се изгуби интереса към задачата, след като вече е пуснато решение.Ето го и авторското:
Функционалното уравнение е еквивалентно на:
[tex]f(n)-n=2(f(f(n))-f(n))\Rightarrow f(n)-n=2(f(t)-t)[/tex] , оттук [tex]f(n)-n[/tex] е четно за всяко [tex]n[/tex], но тогава [tex]f(t)-t[/tex] също е четно, т.е [tex]f(n)-n[/tex] се дели на [tex]4[/tex] и лесно можем да стигнем до извода, че за всяко [tex]l[/tex],[tex] 2^l| f(n)-n[/tex] , възможно само при [tex]f(n)-n=0\Rightarrow f(n)=n[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Baronov
Напреднал


Регистриран на: 05 Jun 2008
Мнения: 316

Репутация: 55.4
гласове: 39

МнениеПуснато на: Thu Jan 22, 2009 2:05 am    Заглавие:

stanislav atanasov написа:
Понеже явно се изгуби интереса към задачата, след като вече е пуснато решение.Ето го и авторското:
Функционалното уравнение е еквивалентно на:
[tex]f(n)-n=2(f(f(n))-f(n))\Rightarrow f(n)-n=2(f(t)-t)[/tex] , оттук [tex]f(n)-n[/tex] е четно за всяко [tex]n[/tex], но тогава [tex]f(t)-t[/tex] също е четно, т.е [tex]f(n)-n[/tex] се дели на [tex]4[/tex] и лесно можем да стигнем до извода, че за всяко [tex]l[/tex],[tex] 2^l| f(n)-n[/tex] , възможно само при [tex]f(n)-n=0\Rightarrow f(n)=n[/tex]


Яко.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
dim
Напреднал


Регистриран на: 28 Jul 2008
Мнения: 324

Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7
гласове: 21

МнениеПуснато на: Fri Jan 23, 2009 12:56 am    Заглавие:

Страхотно решение и може да бъде разбрано без почти никакви знания от рода на характеристично у-е на редица и извеждането на общия и член чрез него, които видях как се използват, но така и не видях доказателство на теоремата, за която ставаше въпрос по-горе.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.