Предишната тема :: Следващата тема |
Автор |
Съобщение |
Titu_Andrescu Напреднал
Регистриран на: 28 Oct 2006 Мнения: 370
гласове: 29
|
Пуснато на: Fri Jan 12, 2007 11:59 am Заглавие: Зимни Математически Състезания Бургас, 29 Януари 2005 г. |
|
|
12.1. Редиците (an)n=1∞ и (bn)n=1∞от реални числа изпълняват равенствата an+1=2bn-an и bn+1=2an-bn за всяко n. Да се докаже, че:
a) an+1=2(a1+b1)-3an;
б) ако an>0 за всяко n, то a1=b1.
(Николай Николов)
12.2. Окръжност през върха А на триъгълник ABC, AB<>AC, пресича страните AB и AC съответно в точки M и N, а странaтa BC в точки P и Q така, че Q e между B и P. Да се намери <BAC, ако MP||AC, NQ||AB и BP.AC=CQ.AB.
(Олег Мушкаров, Николай Николов)
12.3. Да се намерят стойностите на реалния параметър a, за койтомножеството от стойностите на функцията f(x)=(sin2x-a)/(sin3x-(a2+2)sinx+2) съдържа интервала [0.5, 2].
(Николай Николов)
12.4. Да се намерят всички целочислени триъгълници ABC, за които страната AC e равна на ъглополовящата през върха A и чийто периметър е число от вида 10p, където р е просто число.
(Олег Мушкаров)
Време за работа: 4 часа и 30 минути.
Успех |
|
Върнете се в началото |
|
|
Реклама
|
Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Titu_Andrescu Напреднал
Регистриран на: 28 Oct 2006 Мнения: 370
гласове: 29
|
Пуснато на: Fri Jan 12, 2007 12:03 pm Заглавие: |
|
|
Тазгодишните Зимни Математически Състезания ще се проведат на 10 Февруари в Бургас и Варна, но незнам кои класове в кой град ще са. Колко от вас ще идат на ЗМС тази година и от кои град и клас ? Аз ще съм (да се надявам) в отбора за 12 клас.
http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=748
Последната промяна е направена от Titu_Andrescu на Fri Jan 12, 2007 1:06 pm; мнението е било променяно общо 1 път |
|
Върнете се в началото |
|
|
Titu_Andrescu Напреднал
Регистриран на: 28 Oct 2006 Мнения: 370
гласове: 29
|
Пуснато на: Fri Jan 12, 2007 12:57 pm Заглавие: |
|
|
11.1. Сумата от първите n члена на аритметична прогресия с първи член m и разлика 2 е равна на сумата на първите m члена на геометрична прогресия с първи член n и частно 2.
а) Да се докаже, че m+n=2m;
б) Да се намерят m и n, ако 3-ият член на геометричната прогресия е равен на 23-ия член на аритметична прогресия.
(Емил Колев)
11.2. За кои стойности на реалния параметър а уравнението lg(ax+1)=lg(x-1)+lg(2-x) има само едно решение?
(Александър Иванов)
11.3. В остроъгълен триъгълник ABC, CA<>CB, точките A1 и B1 са допирните точки на външновписаните окръжности съответно със страните CB и CA, и О е центърът на вписаната окръжност. Правата CO пресича описаната около триъгърника ABC окръжност в точка P, а правата през P, перпендикулярна на CP, пресича правата AB в точка Q. Да се докаже, че правите QO и A1B1 са успоредни.
(Александър Иванов)
11.4 В интернет турнир по шахмат участвали 2005 шахматисти, като всеки играл срещу всеки по една среща. Оказало се, че ако двама шахматисти A и B са завършили реми, то всеки друг шахматист е загубил или от A, или от B. Да се докаже, че ако в турнира има поне две ремита, то шахматистите могат да се наредят в редица, така че всеки е победил следващия в редицата.
(Емил Колев)
Последната промяна е направена от Titu_Andrescu на Mon Jan 15, 2007 10:59 pm; мнението е било променяно общо 1 път |
|
Върнете се в началото |
|
|
sd_pld Начинаещ
Регистриран на: 05 Dec 2006 Мнения: 68
гласове: 1
|
Пуснато на: Fri Jan 12, 2007 1:45 pm Заглавие: |
|
|
Пловдив-11ти клас..
Ние сме във Варна.Малките са в Бургас |
|
Върнете се в началото |
|
|
Titu_Andrescu Напреднал
Регистриран на: 28 Oct 2006 Мнения: 370
гласове: 29
|
Пуснато на: Fri Jan 12, 2007 7:11 pm Заглавие: |
|
|
Искам ние да сме в Бургас
12.1. Решение: а) Тъй като an+1+bn+1=2bn-an+2an-bn=an+bn, то an+1=2(an+bn)-3an=2(a1+b1)-3an.
б) От а) следва, че an+1-(a1+b1)/2=-3(an-(a1+b1)/2) и оттук an+1-(a1+b1)/2=(-3)n(a1-(a1+b1)/2).
Тъй като limn->∞3n=+∞, ако а1>b1, то limn->∞а2n=-∞, противоречие.
Аналогично не може а1<b1 и значи а1=b1.
12.2. Решение: Нека BC=a, CA=b и AB=c. От свойството на секущите имаме, че BA.BM=BP.BQ, а успоредността дава, че BM/c=BP/a. Оттук BQ=c2/a и аналогично CP=b2/a. Тогава BP=(a2-b2)/a, CQ=(a2-c2)/a и условието BP/CQ=AB/AC добива вида b(a2-b2)=c(a2-c2), т.е. (b-c)(a2-b2-c2-bc)=0. Понеже b<>c, от косинусовата теорема следва, че cos<BAC=-0.5 и значи <BAC=120o.
Дадох ви задачите за големите. Дадох ви Старт. Останалото зависи от вас. Чао |
|
Върнете се в началото |
|
|
Tony_89 Фен на форума
Регистриран на: 04 Jul 2006 Мнения: 563 Местожителство: София гласове: 29
|
Пуснато на: Sun Jan 14, 2007 5:08 pm Заглавие: |
|
|
11.1
a)
По формулите за сума при аритметична и геометрична прогресия имаме:
Sn = n*(2*m + 2*(n - 1))/2 = n(m + n - 1) = m*n + n2 - n
Sm = n*(1 - 2m)/(1 - 2) = n*(2m - 1) = n*2m - n
m*n + n2 - n = n*2m - n
n*(m + n) = n*2m
m + n = 2m
б)
a3 = n*22 = 4*n
a23 = m + 22*2 = m + 44
4*n = m + 44
n = (m + 44)/4
m + n = 2m
m + (m + 44)/4 = 2m
5*m + 44 = = 2m+2
m = 4 |
|
Върнете се в началото |
|
|
Tony_89 Фен на форума
Регистриран на: 04 Jul 2006 Мнения: 563 Местожителство: София гласове: 29
|
Пуснато на: Sun Jan 14, 2007 5:26 pm Заглавие: |
|
|
11.2
lg(a*x + 1) = lg(x - 1) + lg(x - 2)
ДС:
|a*x + 1 > 0
|x - 1 > 0
|x - 2 > 0
|a*x + 1 > 0
|x > 2
lg(a*x + 1) = lg((x - 1)*(x - 2))
lg(a*x + 1) = lg(x2 - 3*x + 2)
a*x + 1 = x2 - 3*x + 2
x2 - (a + 3)*x + 1 = 0
D = a2 + 6*a + 5 = (a + 1)*(a + 5)
x1,2 = (a + 3 ± SQRT(a2 + 6*a + 5))/2
I случай: D = 0
a = -1 или a = -5
x = (a + 3)/2 =>
=> x = 1 или x = -1, които не E ДС
II случай: D > 0
a E (-∞ ; -5) U (-1 ; ∞)
Уравнението има само един корен при тези случаи:
|x1 E ДС
|x2 не E ДС
|x1 не E ДС
|x2 E ДС
x1 = (a + 3 - SQRT(a2 + 6*a + 5))/2
x2 = (a + 3 + SQRT(a2 + 6*a + 5))/2
Неравенството x1 > 2 няма решение =>
=> x1 не E ДС =>
|x1 не E ДС
|x2 E ДС
x2 > 2
a E (-1/2 ; +∞)
a*x + 1 > 0
a E (-1 ; -1/2) =>
=> няма стойност на а при която уравнението
lg(a*x + 1) = lg(x - 1) + lg(x - 2) има едно решение |
|
Върнете се в началото |
|
|
Titu_Andrescu Напреднал
Регистриран на: 28 Oct 2006 Мнения: 370
гласове: 29
|
Пуснато на: Sun Jan 14, 2007 5:37 pm Заглавие: |
|
|
11.2. Контра пример на твоя отговор: a=-1/2, a=3-2√3 |
|
Върнете се в началото |
|
|
Tony_89 Фен на форума
Регистриран на: 04 Jul 2006 Мнения: 563 Местожителство: София гласове: 29
|
Пуснато на: Sun Jan 14, 2007 10:54 pm Заглавие: |
|
|
За a = -1/2 единия корен е 1/2, а другия 2, т.е. и двата не E ДС
За a = 3 - 2*√3 не е изпълнено a*x + 1 > 0 и за двата корена |
|
Върнете се в началото |
|
|
Tony_89 Фен на форума
Регистриран на: 04 Jul 2006 Мнения: 563 Местожителство: София гласове: 29
|
Пуснато на: Sun Jan 14, 2007 11:59 pm Заглавие: |
|
|
За да съм съвсем точен:
За a = 3 - 2*√3 , за единият корен не е изпълнено x > 2, а за другия
не е изпълнено a*x + 1 > 0 |
|
Върнете се в началото |
|
|
Titu_Andrescu Напреднал
Регистриран на: 28 Oct 2006 Мнения: 370
гласове: 29
|
Пуснато на: Mon Jan 15, 2007 1:03 pm Заглавие: |
|
|
Напиши си краиния отговор |
|
Върнете се в началото |
|
|
Tony_89 Фен на форума
Регистриран на: 04 Jul 2006 Мнения: 563 Местожителство: София гласове: 29
|
Пуснато на: Mon Jan 15, 2007 9:25 pm Заглавие: |
|
|
крайният отговор ми е че няма стойност на а , при която уравнението да има само един корен. Това получавам.
А ако питаш за а = 3 - 2√3 :
x1 = 3 - √3 - SQRT(11 - 6√3) < 2
x2 = 3 - √3 + SQRT(11 - 6√3)
a*x2 + 1 > 0
(3 - 2√3)*(3 - √3 + SQRT(11 - 6√3)) + 1 > 0
30*√3 - 52 > 0
SQRT(2700) - SQRT(2704) > 0, което не е вярно =>
=> и двата корена не E ДС
P.S. Малко посмесих двата начина на писане на корен ама нищо |
|
Върнете се в началото |
|
|
Titu_Andrescu Напреднал
Регистриран на: 28 Oct 2006 Мнения: 370
гласове: 29
|
Пуснато на: Mon Jan 15, 2007 10:53 pm Заглавие: |
|
|
Tony_89, прав си! Но съм пообъркал условието. Извинявай. Вярното е lg(2-x), а не lg(x-2) |
|
Върнете се в началото |
|
|
Tony_89 Фен на форума
Регистриран на: 04 Jul 2006 Мнения: 563 Местожителство: София гласове: 29
|
Пуснато на: Thu Jan 18, 2007 12:12 pm Заглавие: |
|
|
Нищо, интересното е, че майче с тази грешка се получи параметрично уравнение без решение
А щом задачата е lg(a*x + 1) = lg(x - 1) + lg(2 - x):
ДС:
|x E (1;2)
|a*x + 1 > 0
lg(a*x + 1) = lg((x - 1)*(2 - x))
a*x + 1 = 2*x - x2 - 2 + x
x2 + (a - 3)*x + 3 = 0
D = (a - 3)2 - 4*1*3 = a2 - 6*a - 3
x1,2 = (3 - a ± SQRT(a2 - 6*a - 3))/2
I случай: D = 0
a1 = 3 + 2*√3
a2 = 3 - 2*√3
x = (3 - a)/2 =>
=> x1 = -√3 не E ДС
x2 = √3 E ДС =>
=> a = 3 - 2*√3 е решение
II случай: D > 0
a E (-∞ ; 3 - 2*√3) U (3 + 2*√3 ; +∞)
Нека x2 + (a - 3)*x + 3 = f(x)
Ще използвам формулите за разположение на число на числовата ос спрямо корените на квадратно уравнение.
|x1 E (1;2)
|x2 не E (1;2) при:
|1*f(2) < 0
|1*f(1) > 0
|D > 0
|1 < -(a-3))/(2*1)
|f(2) < 0
|f(1) > 0
|a < 1
|x1 E (1;2)
|x2 E (1;2) при:
|1*f(1) > 0
|D > 0
|1 < -(a-3))/(2*1)
|1*f(2) > 0
|D > 0
|2 > -(a-3))/(2*1)
|f(1) > 0
|f(2) > 0
|D > 0
|a E (-1;1)
|x1 не E (1;2)
|x2 E (1;2) при:
|1*f(1) < 0
|1*f(2) > 0
|D > 0
|2 > -(a-3))/(2*1)
|f(1) < 0
|f(2) > 0
|a > -1
Системата
|x1 E ДС
|x2 не E ДС
е равносилна на обединението на системите:
(1)
|f(2) < 0
|f(1) > 0
|a < 1
|a*x1 + 1 > 0
(2)
|f(1) > 0
|f(2) > 0
|D > 0
|a E (-1;1)
|a*x1 + 1 > 0
|a*x2 + 1 ≤ 0
Системата
|x1 не E ДС
|x2 E ДС
е равносилна на обединението на системите:
(3)
|f(1) < 0
|f(2) > 0
|a > -1
|a*x2 + 1 > 0
(4)
||f(1) > 0
|f(2) > 0
|D > 0
|a E (-1;1)
|a*x1 + 1 ≤ 0
|a*x2 + 1 > 0
Само (1) има решение: a E (-1;-1/2) =>
=> Решението на задачата е a E (-1;-1/2) U {3 - 2*√3}
Само не разбирам защо не мога да получа, че и 1/2 е решение. Проверявах ама не виждам |
|
Върнете се в началото |
|
|
krassi_holmz Редовен
Регистриран на: 05 Jan 2006 Мнения: 146 Местожителство: Ню Йорк, BG гласове: 18
|
Пуснато на: Sun Jan 21, 2007 11:08 am Заглавие: |
|
|
Ето задачите от 9 клас
2006
1. Да се намерят всички стойности на реалните неотрицателни параметри a и b, за които уравненията
x^2 + a^2 x + b^3 = 0
и
x^2 + b^2 x + a^3 = 0
имат общ корен.
2. Нека b и c са реални параметри, за които кводратното уравнение
x^2 + bx +c = 0 има такива два различни реални корена x_1 и x_2, ча x_1 = x_2 ^ 2 + x_2.
а) Да се намерят параметрите b и c, ако b+c=4.
б) Да се намерят параметрите b и c, ако те са цели взаимнопрости числа.
3. Даден е триъгълникът ABC. Нека BL (L z AC) e ъглополовяща на <ABC, а AH (H z BC) е височината на триъгълника през върха А. Да се докаже, че <AHL = <ALB тогава и само тогава, когато <BAC = <ACB + 90°.
4. В клетките на таблица с размер 8х8 са разположени пулове, като са спазени следните правила:
1) В поне едно от полетата на всеки правоъгълник с размери 2х1 или 1х2 има поне един пул.
2) За всеки правоъгълник с размери 7х1 или 1х7 има поне два пула, които са разположени в съседни полета.
Да се намери минималният възможен брой пулове.
И един въпрос до хората от СМГ или НПМГ - горе-долу какъв материал от теорията на числата излиза около 9 клас? откъде се подготвате за състезанията? |
|
Върнете се в началото |
|
|
Футуролог Начинаещ
Регистриран на: 29 Dec 2006 Мнения: 31
гласове: 7
|
Пуснато на: Fri Jan 26, 2007 3:27 am Заглавие: Решение на задача 3 от темата за 9 клас |
|
|
Нека правата П минава през В и нека П е перпендикулярна на BL. Нека П пресича продължението на СА в точка Р. Нека РН пресича ВL в точка М. Тъй като BL е ъглополовяща на <АВС, то означаваме <ABL=<CBL=б.
Да допуснем, че <ALB=<AHL=a. Тъй като АН е перпендикулярна на ВС, то <АНС=90 и следователно <LHC=90-<AHL=90-a. От друга страна тр.LBP е правоъгълен <BLP=a, следователно <LPB=90-а. Тогава <LРВ+<ВНL=90-а+180-<LНС=90-а+180-90+а=180, което означава, че LРВН може да се впише в окръжност к(1). Поради това 90=<РВL=<РНL като вписани в к(1). Аналогично <НВL=<НРL=б и <РLВ=<РНВ=а. Но от друга страна <МВА=б=<МРА. Тогава, около АРВН може да се опише окръжност к(2). Тъй като <РВМ+<РАМ=180 и <РВМ=90, то <РАМ=90=<МАL. Следователно <МАL+<МНL=90+90=180, което показва, че LАМН може да се опише окръжност к(3). Тогава а=<АLМ=<АНМ като съответно вписани в к(3). Така се оказва, че <АНМ=а=<РНВ=<МНВ, т.е. НМ е ъглополовяща на <АНВ=90, т.е. а=45 и М е пресечната точка на ъглополовяшите в тр.АВН. Но тогава АМ е ъглополовяща на ъгъл <ВАН. <ВАН=90-<АВН=90-2б, т.е. <ВАМ=<НАМ=45-б. Получаваме, че <ВАС=<ВАМ+<МАС=<ВАМ+90.
Неак <АСВ=г. Тогава <САН=90-г. Но <МАС=90=<МАН+<САН= =90-г+<МАН. Следователно <МАН=г=<ВАМ. Така
<ВАС=90+г=90+<АСВ.
Нekа да допуснем, че <ВАС=90+<АСВ. Нека <АСВ=г. Тогава <ВАС=90+г. и б=45-г. Нека НМ е ъглополовящата на <АНВ, където М лежи на ВL. Тогава М е пресечната точка на ъглополовящите в тр.АВН, т.е. АМ е ъглополовяща на <ВАН. Но <ВАН=90-2б=90-90+2г=2г., т.е. <ВАМ=<НАМ=г. Тогава <МАС=<МАН+<НАС=г+90-г=90. Като сметнем ъглите в тр.ВАL получаваме, че <АLМ=<АLВ=45. Но <АНМ=45, следователно съществува окръжност к(3) описана около АМНL, откъдето пък следва, че <АНL=<АМL. Но <АМL=<АВМ+<ВАМ=45, следователно <АHL=45=<АLВ. |
|
Върнете се в началото |
|
|
Titu_Andrescu Напреднал
Регистриран на: 28 Oct 2006 Мнения: 370
гласове: 29
|
Пуснато на: Fri Jan 26, 2007 12:08 pm Заглавие: |
|
|
Цитат: | Ето задачите от 9 клас
2006 |
Та тя тепърва ще се проведе . Какви са тези задачи? |
|
Върнете се в началото |
|
|
Футуролог Начинаещ
Регистриран на: 29 Dec 2006 Мнения: 31
гласове: 7
|
Пуснато на: Fri Jan 26, 2007 1:51 pm Заглавие: |
|
|
Може да е изтекла вътрешна информация
Да не би това да е някоя стара тема от предишни години? |
|
Върнете се в началото |
|
|
kisoso Начинаещ
Регистриран на: 05 May 2006 Мнения: 81 Местожителство: София
|
Пуснато на: Sat Jan 27, 2007 12:52 am Заглавие: |
|
|
Хъм не се ли позабравяме нещо . Че тази година не е ли леко 2007 .
Опа сори за офтопика... ако някой може да ми изтрие мнението. |
|
Върнете се в началото |
|
|
Titu_Andrescu Напреднал
Регистриран на: 28 Oct 2006 Мнения: 370
гласове: 29
|
Пуснато на: Sat Jan 27, 2007 4:20 pm Заглавие: |
|
|
Ми прав си, 2007 г. е, но е зимата на 2006. Състезанието е ЗМС 2006 - Бургас/Варна, нищо че сме 2007 г. |
|
Върнете се в началото |
|
|
marto_mn Редовен
Регистриран на: 03 Dec 2006 Мнения: 107
гласове: 15
|
Пуснато на: Sat Jan 27, 2007 7:19 pm Заглавие: |
|
|
Titu_Andrescu написа: | Ми прав си, 2007 г. е, но е зимата на 2006. Състезанието е ЗМС 2006 - Бургас/Варна, нищо че сме 2007 г. |
Не съм съгласен.Все едно миналата година Зимната олимпиада да не би да беше Торино 2005???
Важно коя година сме,не коя зима |
|
Върнете се в началото |
|
|
Titu_Andrescu Напреднал
Регистриран на: 28 Oct 2006 Мнения: 370
гласове: 29
|
Пуснато на: Sun Jan 28, 2007 2:11 pm Заглавие: |
|
|
Добре де няма да споря, всеки си знае нещо.. |
|
Върнете се в началото |
|
|
krassi_holmz Редовен
Регистриран на: 05 Jan 2006 Мнения: 146 Местожителство: Ню Йорк, BG гласове: 18
|
Пуснато на: Sun Jan 28, 2007 2:29 pm Заглавие: |
|
|
Съжалявам че с 2006 предизвиках излишно объркване.
Имах предвид задачите от последното състезание - ЗМС - 2005(по титу), което предполагах, че трябва да е 2006.
Но щом Титу казва, че зимните тази година ще са ЗМС 2006, вярвам му.
О още веднъж - пак съжалявам.
Не е изтекла информация |
|
Върнете се в началото |
|
|
administrator Site Admin
Регистриран на: 12 Oct 2005 Мнения: 284 Местожителство: София(Варна) гласове: 14
|
|
Върнете се в началото |
|
|
sd_pld Начинаещ
Регистриран на: 05 Dec 2006 Мнения: 68
гласове: 1
|
Пуснато на: Tue Feb 13, 2007 11:47 am Заглавие: |
|
|
Някой от юзерите има ли шанс за контролните за Балканиадата... |
|
Върнете се в началото |
|
|
marto_mn Редовен
Регистриран на: 03 Dec 2006 Мнения: 107
гласове: 15
|
Пуснато на: Tue Feb 13, 2007 8:21 pm Заглавие: |
|
|
sd_pld написа: | Някой от юзерите има ли шанс за контролните за Балканиадата... |
За олимпиадата за по-големите ученици ли имаш предвид или за тази за ученици до 15 години???? |
|
Върнете се в началото |
|
|
sd_pld Начинаещ
Регистриран на: 05 Dec 2006 Мнения: 68
гласове: 1
|
Пуснато на: Wed Feb 14, 2007 6:15 pm Заглавие: |
|
|
И за двете,предполагам ти имаш шанс за тази до 15.5 години.? |
|
Върнете се в началото |
|
|
Titu_Andrescu Напреднал
Регистриран на: 28 Oct 2006 Мнения: 370
гласове: 29
|
Пуснато на: Wed Feb 14, 2007 6:17 pm Заглавие: |
|
|
хах |
|
Върнете се в началото |
|
|
Pepa Начинаещ
Регистриран на: 08 Nov 2006 Мнения: 22 Местожителство: SOFIA гласове: 1
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Pepa Начинаещ
Регистриран на: 08 Nov 2006 Мнения: 22 Местожителство: SOFIA гласове: 1
|
|
Върнете се в началото |
|
|
|