Матрица 2х2 АХ=ХА

[mimi21]

не мога да го реша явно сама помагайте

АХ=ХА


А=1 2

3 4

[Реклама]

[nikko1]

[tex]X=\left(\begin{array}{cc}x_1&x_2\\x_3&x_4\end{array}\right)\quad A=\left(\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}\right)[/tex]
[tex]AX=\left(\begin{array}{cc}x_1+2x_3&x_2+2x_4\\3x_1+4x_3&3x_2+4x_4\end{array}\right)[/tex]
[tex]XA=\left(\begin{array}{cc}x_1+3x_2&2x_1+4x_2\\x_3+3x_4&2x_3+4x_4\end{array}\right)[/tex], но двете произведения са равни, а 2 матрици са равни тогава и само тогава, когато са равни съответните им елементи. Достигаме до системата
[tex]\left|\begin{array}{l}x_1+2x_3=x_1+3x_2\\x_2+2x_4=2x_1+4x_2\\3x_1+4x_3=x_3+3x_4\\3x_2+4x_4=2x_3+4x_4\end{array}\right.\Leftrightarrow\left|\begin{array}{l}3x_2-2x_3=0\\2x_1+3x_2-2x_4=0\\3x_1+3x_3-3x_4=0\\3x_2-2x_3=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left|\begin{array}{l}3x_2-2x_3=0\\2x_1+3x_2-2x_4=0\\x_1+x_3-x_4=0.\end{array}\right.[/tex]
Системата има матрица [tex]\left(\begin{array}{rrrr}1&0&1&-1\\2&3&0&2\\0&3&-2&0\end{array}\right){\longright^{R_2-2R_1}}\left(\begin{array}{rrrr}1&0&1&-1\\0&3&-2&0\\0&3&-2&0\end{array}\right){\longright^{R_3-R_2}}\left(\begin{array}{rrrr}1&0&1&-1\\0&3&-2&0\\0&0&0&0\end{array}\right).[/tex]
Имаме 2 уравнения с 4 неизвестни, полагаме 2 от неизвестните за параметри [tex]x_3=p,\ x_4=q[/tex] и намираме [tex]x_1=q-p,\ x_2=\frac{2}{3}p.[/tex]
Отговор: [tex]X=\left(\begin{array}{cc}q-p&\frac{2}{3}p\\p&q\end{array}\right),\ p,\ q\in\mathbb{R}.[/tex]