Две задачи за Сфера и Кълбо

[nkrazor]

Ако може да ми кажете как се решават тези задачи,защото се затруднявам.

1.Намерете обема и повърхнината на вписаното кълбо в правилна триъгълна пирамида по дадени височина h и двустенен ъгъл при основата alpha.

2.Правилна четириеъгълна призма е вписана в сфера.Намерете лицето на повърхнината на призмата и на сферата, ако височината на призмата е 6см. , а диагоналът й е наклнонен под 60 градуса спреямо равнината на основата.

Благодаря ви много

[Реклама]

[Spider Iovkov]

Нека дадената правилна четириъгълна призма да е [tex]ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}[/tex]. Диагоналът [tex]BD_{1}[/tex] е наклонен под ъгъл [tex]60^\circ[/tex] спрямо равнината на основата. Този ъгъл ще е всъщност ъгълът между диагонала и неговата ортогонална проекция върху равнината: [tex]BD_{1}\to BD \Rightarrow \angle DBD_{1}=60^\circ \Rightarrow \tan 60^\circ=\frac{DD_{1}}{BD} \Leftrightarrow BD=\frac{DD_{1}}{\tan 60^\circ} \Leftrightarrow BD=\frac{6}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow BD=2\sqrt{3}[/tex]. Оттук получаваме [tex]AB=BC=CD=AD=\sqrt{6}[/tex]. По условие [tex]h=6[/tex]. Но призмата е правилна и [tex]\Rightarrow h=AA_{1}=BB_{1}=CC_{1}=DD_{1}=6[/tex] и [tex]S_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=2S_{ABCD}+4S_{BCC_{1}B_{1}} \Leftrightarrow S_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=12+24\sqrt{6}[/tex].
[tex]S_{\cyr sfera}=4\pi R^2[/tex]
За да намерим радиуса на описаната сфера, е достатъчно да определим къде лежи центърът на тази сфера. Очевидно това ще е точка, която е на равни разстояния от върховете на многоъгълника. Ако [tex]N[/tex] и [tex]K[/tex] са съответно центровете на основите [tex]A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}[/tex] и [tex]ABCD[/tex], то [tex]NK\bot (ABCD), NK\bot (A_{1}B_{1}C_{1}D_{1})[/tex]. Ако [tex]O[/tex] е търсеният център, то [tex]O\in NK[/tex] и [tex]OA=OB=OC=OD=OA_{1}=OB_{1}=OC_{1}=OD_{1} \Rightarrow NO=OK[/tex]. Имаме [tex]\angle AKO=90^\circ[/tex] (права, перпендикулярна на равнина) [tex]\Rightarrow AK^2+OK^2=AO^2 \Leftrightarrow (\sqrt{3})^2+3^2=R^2 \Leftrightarrow R^2=12 \Rightarrow S_{\cyr sfera}=4.12.\pi \Leftrightarrow S_{\cyr sfera}=48\pi[/tex].