Предишната тема :: Следващата тема |
Автор |
Съобщение |
S883 Начинаещ
Регистриран на: 15 Jan 2009 Мнения: 1
|
Пуснато на: Thu Jan 15, 2009 2:07 pm Заглавие: диференцялни уравнения |
|
|
Моля ако някой може да ми реши някое от уравненията :
y' -y = 1-x
y'-2y= 1-2x
y'+ 3y= 3x
y'+2y = x |
|
Върнете се в началото |
|
|
Реклама
|
Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Baronov Напреднал
Регистриран на: 05 Jun 2008 Мнения: 316
гласове: 39
|
|
Върнете се в началото |
|
|
stflyfisher Напреднал
Регистриран на: 26 Jan 2009 Мнения: 394
гласове: 10
|
Пуснато на: Tue Jan 27, 2009 9:10 am Заглавие: Re: диференцялни уравнения |
|
|
S883 написа: | Моля ако някой може да ми реши някое от уравненията :
y' -y = 1-x
y'-2y= 1-2x
y'+ 3y= 3x
y'+2y = x |
След решаване относно у' се стига до линейно ДУ от 1-ви ред и се прилага директно формулата за решаване на линейно ДУ от 1-ви. |
|
Върнете се в началото |
|
|
gdimkov Напреднал
Регистриран на: 21 Jun 2008 Мнения: 413 Местожителство: София гласове: 17
|
Пуснато на: Tue Jan 27, 2009 4:57 pm Заглавие: |
|
|
Една кратка бележка: Няма формула за решаванена ОДУ от І ред. Общият вид на уравнението е [tex]y'=f(x,y)[/tex]. За някои конкретни десни части има различни решения. В общия случай решението се намира чрез итерации (Теорема за съществуване на решеие). |
|
Върнете се в началото |
|
|
stflyfisher Напреднал
Регистриран на: 26 Jan 2009 Мнения: 394
гласове: 10
|
Пуснато на: Wed Jan 28, 2009 8:12 am Заглавие: |
|
|
gdimkov написа: | Една кратка бележка: Няма формула за решаванена ОДУ от І ред. Общият вид на уравнението е [tex]y'=f(x,y)[/tex]. За някои конкретни десни части има различни решения. В общия случай решението се намира чрез итерации (Теорема за съществуване на решеие). |
В горния ми пост става дума само за Линейни ДУ от 1-ви ред. Но тук:
http://rosoft.org/MitakaLectures/PM-NRS/PMS_sec1414.pdf
на стр.3-4, формула (14.6) дава директно решенията на ЛДУ от 1-ви ред.
заб: при у'=а(х)у+b(x), формулата търпи лека промяна. |
|
Върнете се в началото |
|
|
Flame Редовен
Регистриран на: 24 Mar 2009 Мнения: 213 Местожителство: София гласове: 16
|
Пуснато на: Sun Mar 29, 2009 2:37 pm Заглавие: |
|
|
По добре е да решим нещо, дадено е:
[tex]y'(x)-y(x)=1-x[/tex]
Съставяме характеристичното на хомогенното уравнение:
[tex]y-1=0 => y=1[/tex]
Решението на хомогенното уравнение е:
[tex]y_1=c_1 e^x[/tex]
Частното решение търсим във вид:
[tex]y_2=c_2 e^x , c_2=?[/tex]
Съставяме система линейни интегрални уравнение за определяне на неизвестните константи по метода на Лагранж.
В случая видът на системата е следния:
[tex]c_2'e^x=1-x =>[/tex] [tex]c_2'=(1-x)e^{-x} [/tex]
Интегрираме
[tex]c_2=\int_{}^{} e^{-x} (1-x)dx=\int_{}^{ }e^{-x}dx+\int_{}^{}-xe^{-x}dx[/tex]=
Следва решеване - първия е табличен втория по части, получаваме:
[tex]c_2= -e^{-x} + -e^{-x} (-x-1) = e^{-x} x[/tex]
Последно за частното решение получаваме :
[tex]y_2=e^{-x} x e^x = x[/tex]
Окончателно за крайния отговор получаваме
[tex]y(x)=y_1+y_2= c_1 e^x+x [/tex] |
|
Върнете се в началото |
|
|
stflyfisher Напреднал
Регистриран на: 26 Jan 2009 Мнения: 394
гласове: 10
|
Пуснато на: Mon Mar 30, 2009 5:01 pm Заглавие: |
|
|
hristo21 написа: | По добре е да решим нещо, дадено е:
[tex]y'(x)-y(x)=1-x[/tex]
Съставяме характеристичното на хомогенното уравнение:
[tex]y-1=0 => y=1[/tex]
Решението на хомогенното уравнение е:
[tex]y_1=c_1 e^x[/tex]
Частното решение търсим във вид:
[tex]y_2=c_2 e^x , c_2=?[/tex]
Съставяме система линейни интегрални уравнение за определяне на неизвестните константи по метода на Лагранж.
В случая видът на системата е следния:
[tex]c_2'e^x=1-x =>[/tex] [tex]c_2'=(1-x)e^{-x} [/tex]
Интегрираме
[tex]c_2=\int_{}^{} e^{-x} (1-x)dx=\int_{}^{ }e^{-x}dx+\int_{}^{}-xe^{-x}dx[/tex]=
Следва решеване - първия е табличен втория по части, получаваме:
[tex]c_2= -e^{-x} + -e^{-x} (-x-1) = e^{-x} x[/tex]
Последно за частното решение получаваме :
[tex]y_2=e^{-x} x e^x = x[/tex]
Окончателно за крайния отговор получаваме
[tex]y(x)=y_1+y_2= c_1 e^x+x [/tex] |
Да, "По добре е да решим нещо", но защо по този метод, като може и по-лесно? Не казвам, че метода не е добър или решението не е вярно. Той се прилага за ЛНХДУ за ред по-висок от първи. Защо да се мъча?
[tex]y'-y=1-x[/tex]
Съгласно линка ми от предния пост, това е Линейно диференциално уравнение от първи ред, където:
[tex] a(x)=-1, b(x)=1-x[/tex]
Пак там в този линк има готова формула, за такива уравнения:
[tex] y = e^{(-\int a(x)dx)}[\int e^{(-\int a(x)dx)}b(x)dx+C] [/tex]
За това уравнение се получава:
[tex] y=e^{(-\int (-1)dx)}[\int e^{\int (-1)dx}(1-x)dx +C]=[/tex]
[tex]=e^{\int1 dx}[\int e^{-\int 1 dx}(1-x)dx+C] = e^{x}[\int e^{-x}(1-x)dx+C]=(A)[/tex]
Решавам отделно:
[tex]\int e^{-x}(1-x)dx = -\int e^{-x}(1-x)d(-x)=-\int (1-x)de^{-x} = \int (x-1)de^{-x}=[/tex]
[tex] = e^{-x}(x-1)-\int e^{-x}d(x-1) = e^{-x}(x-1)-\int e^{-x}dx =e^{-x}(x-1)+\int e^{-x}d(-x) = e^{-x}(x-1)+e^{-x}+C_1[/tex]
Заместваме в [tex] (A)[/tex] (без константа [tex] C_1[/tex], защо ли?):
[tex]=e^{x}[e^{-x}(x-1)+e^{-x}+C]=e^{x}e^{-x}(x-1)+e^{x}e^{-x}+e^{x}C=[/tex]
[tex] = 1(x-1)+1+e^{x}C=x-1+1+e^{x}C=x+e^{x}C[/tex]
т.е. решението е:
[tex] y=e^{x}C+x[/tex], където [tex] C[/tex] е произволна константа. |
|
Върнете се в началото |
|
|
|