Регистрирайте сеРегистрирайте се

диференцялни уравнения


 
   Форум за математика Форуми -> Диференциални уравнения
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
S883
Начинаещ


Регистриран на: 15 Jan 2009
Мнения: 1


МнениеПуснато на: Thu Jan 15, 2009 2:07 pm    Заглавие: диференцялни уравнения

Моля ако някой може да ми реши някое от уравненията :
y' -y = 1-x
y'-2y= 1-2x
y'+ 3y= 3x
y'+2y = x
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Baronov
Напреднал


Регистриран на: 05 Jun 2008
Мнения: 316

Репутация: 55.4
гласове: 39

МнениеПуснато на: Thu Jan 15, 2009 2:14 pm    Заглавие:

http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_differential_equation
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
stflyfisher
Напреднал


Регистриран на: 26 Jan 2009
Мнения: 394

Репутация: 31.9Репутация: 31.9Репутация: 31.9
гласове: 10

МнениеПуснато на: Tue Jan 27, 2009 9:10 am    Заглавие: Re: диференцялни уравнения

S883 написа:
Моля ако някой може да ми реши някое от уравненията :
y' -y = 1-x
y'-2y= 1-2x
y'+ 3y= 3x
y'+2y = x


След решаване относно у' се стига до линейно ДУ от 1-ви ред и се прилага директно формулата за решаване на линейно ДУ от 1-ви.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
gdimkov
Напреднал


Регистриран на: 21 Jun 2008
Мнения: 413
Местожителство: София
Репутация: 29.1Репутация: 29.1Репутация: 29.1
гласове: 17

МнениеПуснато на: Tue Jan 27, 2009 4:57 pm    Заглавие:

Една кратка бележка: Няма формула за решаванена ОДУ от І ред. Общият вид на уравнението е [tex]y'=f(x,y)[/tex]. За някои конкретни десни части има различни решения. В общия случай решението се намира чрез итерации (Теорема за съществуване на решеие).
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
stflyfisher
Напреднал


Регистриран на: 26 Jan 2009
Мнения: 394

Репутация: 31.9Репутация: 31.9Репутация: 31.9
гласове: 10

МнениеПуснато на: Wed Jan 28, 2009 8:12 am    Заглавие:

gdimkov написа:
Една кратка бележка: Няма формула за решаванена ОДУ от І ред. Общият вид на уравнението е [tex]y'=f(x,y)[/tex]. За някои конкретни десни части има различни решения. В общия случай решението се намира чрез итерации (Теорема за съществуване на решеие).


В горния ми пост става дума само за Линейни ДУ от 1-ви ред. Но тук:

http://rosoft.org/MitakaLectures/PM-NRS/PMS_sec1414.pdf

на стр.3-4, формула (14.6) дава директно решенията на ЛДУ от 1-ви ред.

заб: при у'=а(х)у+b(x), формулата търпи лека промяна.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Flame
Редовен


Регистриран на: 24 Mar 2009
Мнения: 213
Местожителство: София
Репутация: 29.6Репутация: 29.6Репутация: 29.6
гласове: 16

МнениеПуснато на: Sun Mar 29, 2009 2:37 pm    Заглавие:

По добре е да решим нещо, дадено е:

[tex]y'(x)-y(x)=1-x[/tex]

Съставяме характеристичното на хомогенното уравнение:

[tex]y-1=0 => y=1[/tex]

Решението на хомогенното уравнение е:

[tex]y_1=c_1 e^x[/tex]

Частното решение търсим във вид:

[tex]y_2=c_2 e^x , c_2=?[/tex]

Съставяме система линейни интегрални уравнение за определяне на неизвестните константи по метода на Лагранж.
В случая видът на системата е следния:

[tex]c_2'e^x=1-x =>[/tex] [tex]c_2'=(1-x)e^{-x} [/tex]

Интегрираме
[tex]c_2=\int_{}^{} e^{-x} (1-x)dx=\int_{}^{ }e^{-x}dx+\int_{}^{}-xe^{-x}dx[/tex]=

Следва решеване - първия е табличен втория по части, получаваме:
[tex]c_2= -e^{-x} + -e^{-x} (-x-1) = e^{-x} x[/tex]

Последно за частното решение получаваме :

[tex]y_2=e^{-x} x e^x = x[/tex]

Окончателно за крайния отговор получаваме

[tex]y(x)=y_1+y_2= c_1 e^x+x [/tex]Laughing
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
stflyfisher
Напреднал


Регистриран на: 26 Jan 2009
Мнения: 394

Репутация: 31.9Репутация: 31.9Репутация: 31.9
гласове: 10

МнениеПуснато на: Mon Mar 30, 2009 5:01 pm    Заглавие:

hristo21 написа:
По добре е да решим нещо, дадено е:

[tex]y'(x)-y(x)=1-x[/tex]

Съставяме характеристичното на хомогенното уравнение:

[tex]y-1=0 => y=1[/tex]

Решението на хомогенното уравнение е:

[tex]y_1=c_1 e^x[/tex]

Частното решение търсим във вид:

[tex]y_2=c_2 e^x , c_2=?[/tex]

Съставяме система линейни интегрални уравнение за определяне на неизвестните константи по метода на Лагранж.
В случая видът на системата е следния:

[tex]c_2'e^x=1-x =>[/tex] [tex]c_2'=(1-x)e^{-x} [/tex]

Интегрираме
[tex]c_2=\int_{}^{} e^{-x} (1-x)dx=\int_{}^{ }e^{-x}dx+\int_{}^{}-xe^{-x}dx[/tex]=

Следва решеване - първия е табличен втория по части, получаваме:
[tex]c_2= -e^{-x} + -e^{-x} (-x-1) = e^{-x} x[/tex]

Последно за частното решение получаваме :

[tex]y_2=e^{-x} x e^x = x[/tex]

Окончателно за крайния отговор получаваме

[tex]y(x)=y_1+y_2= c_1 e^x+x [/tex]Laughing


Да, "По добре е да решим нещо", но защо по този метод, като може и по-лесно? Не казвам, че метода не е добър или решението не е вярно. Той се прилага за ЛНХДУ за ред по-висок от първи. Защо да се мъча? Wink

[tex]y'-y=1-x[/tex]

Съгласно линка ми от предния пост, това е Линейно диференциално уравнение от първи ред, където:

[tex] a(x)=-1, b(x)=1-x[/tex]

Пак там в този линк има готова формула, за такива уравнения:

[tex] y = e^{(-\int a(x)dx)}[\int e^{(-\int a(x)dx)}b(x)dx+C] [/tex]

За това уравнение се получава:

[tex] y=e^{(-\int (-1)dx)}[\int e^{\int (-1)dx}(1-x)dx +C]=[/tex]

[tex]=e^{\int1 dx}[\int e^{-\int 1 dx}(1-x)dx+C] = e^{x}[\int e^{-x}(1-x)dx+C]=(A)[/tex]

Решавам отделно:
[tex]\int e^{-x}(1-x)dx = -\int e^{-x}(1-x)d(-x)=-\int (1-x)de^{-x} = \int (x-1)de^{-x}=[/tex]

[tex] = e^{-x}(x-1)-\int e^{-x}d(x-1) = e^{-x}(x-1)-\int e^{-x}dx =e^{-x}(x-1)+\int e^{-x}d(-x) = e^{-x}(x-1)+e^{-x}+C_1[/tex]

Заместваме в [tex] (A)[/tex] (без константа [tex] C_1[/tex], защо ли?):

[tex]=e^{x}[e^{-x}(x-1)+e^{-x}+C]=e^{x}e^{-x}(x-1)+e^{x}e^{-x}+e^{x}C=[/tex]

[tex] = 1(x-1)+1+e^{x}C=x-1+1+e^{x}C=x+e^{x}C[/tex]

т.е. решението е:

[tex] y=e^{x}C+x[/tex], където [tex] C[/tex] е произволна константа. Laughing Laughing Laughing
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Диференциални уравнения Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
You cannot attach files in this forum
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.