Трудна задача

[Zlatinster]

Спрямо правоъгълна координатна система Oxy са дадени точките A(2m,0) и B(0,m) където m>0 е реално число.Правата t е допирателна към графиката на функцията f(x)=x²-2x+1 в точката T(x₀,f(x₀)).

a)Да се намерят стойностите на х₀,за които правата t отсича от триъгълника OAB четириъгълник,около който може да се опише окръжност.

б)Да се намери радиусът на описаната около четириъгълника окръжност,ако лицето му е равно на 11/4.

[Реклама]

[ганка симеонова]

[Zlatinster]

готово оправих го

[Spider Iovkov]

[tex]f(x)=x^2-2x+1;[/tex] [tex]A(2m;0), B(0;m), m>1[/tex]
Трябва да определим за кои стойности на числото [tex]x_{0}[/tex] допирателната [tex]t[/tex] към графиката на [tex]f(x)[/tex] отсича от [tex]\triangle AOB[/tex] четириъгълник, около който може да бъде описана окръжност. Пресмятаме първата производна: [tex]f'(x)=(x^2)'-(2x)' \Leftrightarrow f'(x)=2x-2[/tex]. Сега, понеже уравнението [tex]f(x)=0[/tex] има само една допирна точка с оста [tex]Ox[/tex], то има един двоен корен [tex]x=1[/tex]. Координатите на този връх са [tex](1;0)[/tex]. От друга страна, производната на всяка функция е равна на ъгловия коефициент [tex]k[/tex] и на тангенса на ъгъла, който допирателната сключва с положителната посока на оста [tex]Ox[/tex], тоест [tex]f'(x_{0})=k=\tan\alpha[/tex]. За разположението на допирателната към графиката ще разгледаме два случая.
В първия случай допирателната се допира до левия край на параболата в точката [tex]x_{0}[/tex]. Нека тази допирателна [tex]t[/tex] да пресича оста [tex]Ox[/tex] в точката [tex]M[/tex] например и оста [tex]Oy[/tex] – в точката [tex]K[/tex]. Тя отсича от [tex]\triangle AOB[/tex] четириъгълника [tex]ABKM[/tex], за който трябва да уточним кога може да бъде вписан в окръжност. Да означим [tex]\angle AMK=\alpha[/tex] и [tex]\angle ABK=\varphi[/tex]. Около [tex]ABKM[/tex] може да бъде описана окръжност, ако [tex]\alpha+\varphi=180^\circ[/tex] (сборът от срещуположните ъгли дава мярката на изправения ъгъл). От това равенство изразяваме примерно [tex]\alpha[/tex] и достигаме до [tex]\alpha=180^\circ-\varphi[/tex]. От правоъгълния [tex]\triangle AOB[/tex] изразяваме тригонометрична функция на [tex]\varphi[/tex]: [tex]\tan\varphi=\frac{AO}{BO} \Leftrightarrow \tan\varphi=\frac{2m}{m} \Leftrightarrow \tan\varphi=2[/tex]. Тогава [tex]\tan\alpha=\tan(180^\circ-\varphi) \Leftrightarrow \tan\alpha=-\tan\varphi \Leftrightarrow \tan\alpha=-2 \Leftrightarrow f'(x)=-2 \Leftrightarrow 2x-\cancel 2=-\cancel 2 \Leftrightarrow x_{0}=0[/tex]. В такъв случай уравнението на допирателната [tex]t[/tex] ще е уравнението на правата [tex]g(x)=f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0}) \Leftrightarrow f'(0)x+f(0) \Leftrightarrow g(x)=1-2x[/tex].
При втория случай допирателната [tex]t[/tex] е към дясната част на графиката. Сега ъгълът [tex]\alpha[/tex] ще е външен за четириъгълника и неговият съседен ще е [tex]180^\circ-\alpha[/tex]. Нека отново имаме ъгъла [tex]\varphi[/tex], срещулежащ на [tex]180^\circ-\alpha[/tex]. Окръжност може да бъде описана, ако [tex]\cancel {180^\circ}-\alpha+\varphi=\cancel {180^\circ} \Leftrightarrow \alpha=\varphi[/tex]. Отново имаме [tex]\tan\varphi=\frac{2m}{m} \Leftrightarrow \tan\varphi=2[/tex]. Тогава [tex]\tan\alpha=\tan\varphi \Leftrightarrow \tan\alpha=2 \Leftrightarrow f'(x)=2 \Leftrightarrow 2x-2=2 \Leftrightarrow 2x=4 \Leftrightarrow x_{0}=2[/tex]. Уравнението на допирателната ще е [tex]g(x)=f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0}) \Leftrightarrow g(x)=2x-3[/tex].