Нютонов бином - тъждества за доказване

[ferry2]

Докажете, че:

1з. [tex]\left(\begin{array}{rr} n \\ 0 \\\end{array}\right) + \left(\begin{array}{rr} n \\ 1 \\\end{array}\right) + \left(\begin{array}{rr} n \\ 2 \\\end{array}\right) + \left(\begin{array}{rr} n \\ n \\\end{array}\right)=2^n [/tex]

2з. [tex](\sqrt[n]{n}-1)^2\le \frac{2}{n-1}[/tex], за всяко [tex] n>1 [/tex]

3з. [tex]\left(\begin{array}{rr} n \\ 0 \\\end{array}\right)^2 + \left(\begin{array}{rr} n \\ 1 \\\end{array}\right)^2 + ....... + \left(\begin{array}{rr} n \\ n \\\end{array}\right)^2=\left(\begin{array}{rr} 2n \\ n \\\end{array}\right) [/tex], за всяко [tex]n\in \mathbb{N}[/tex]

[Реклама]

[nikko1]

1 зад
[tex](1+x)^n=\sum\limits_{i=0}^n{n\choose i}1^{n-i}x^{i}[/tex]
Полагаме [tex]x=1[/tex] и получаваме [tex]2^n=\sum\limits_{i=0}^n{n\choose i}.[/tex]

[nikko1]

3 зад
[tex]\biggl(\sum_{i=0}^m a_ix^i\biggr) \biggl(\sum_{j=0}^n b_jx^j\biggr) = \sum_{r=0}^{m+n}\biggl(\sum_{k=0}^r a_k b_{r-k}\biggr) x^r,[/tex]
където използваме, че [tex]a_i=0[/tex] за всяко [tex]i > m[/tex] и [tex]b_j = 0[/tex] за всяко [tex]j > n[/tex].
Освен това [tex](1+x)^{m+n} = \sum_{r=0}^{m+n} {m+n \choose r}x^r.[/tex] Така
[tex]\begin{align} \sum_{r=0}^{m+n} {m+n \choose r}x^r &= (1+x)^{m+n}\\ &= (1+x)^m (1+x)^n \\ &= \biggl(\sum_{i=0}^m {m\choose i}x^i\biggr) \biggl(\sum_{j=0}^n {n\choose j}x^j\biggr)\\ &=\sum_{r=0}^{m+n}\biggl(\sum_{k=0}^r {m\choose k} {n\choose r-k}\biggr) x^r. \end{align}[/tex]
Сравнявайки коефициентите пред степените на x имаме
[tex]{m+n \choose r}=\sum_{k=0}^r{m \choose k}{n \choose r-k},\qquad m,n,r\in\mathbb{N}_0.[/tex]
Сега полагаме [tex]r=m=n[/tex] и използвайки [tex]{n\choose {n-k}}={n\choose k}[/tex] получаваме
[tex]{2n \choose n}=\sum_{k=0}^n{n \choose k}{n \choose r-k}=\sum_{k=0}^n{n \choose k}^2.[/tex]

[nikko1]

2 зад
Нека означим [tex]\sqrt[n]{n}=1+\delta_n.[/tex] Тогава
[tex]n = (1+\delta_n)^n = 1+{n\choose1}\delta_n+{n\choose2}\delta_n^2+\ldots+{n\choose n}\delta_n^n.[/tex]
Тук всички събираеми в дясната страна са положителни (при [tex]n>1[/tex]) и тогава
[tex] n\geq {n\choose2}\delta_n^2 = \frac{n(n\!-\!1)}{2!}\delta_n^2\Rightarrow (\sqrt[n]{n}-1)^2=\delta_n^2\leq \frac{2}{n-1}.[/tex]

[ferry2]

Благодаря за бързия отговор!

[nikko1]

А аз за репутацията