Задача 22

Pinetop Smith · Пуснато на: Wed Jan 14, 2009 9:02 pm Заглавие: Задача 22

Даден е изпъкнал четириъгълник ABCD. Диагоналите му АС и BD са пресичат в точка О. Да се докаже, че правата, която съединява ортоцентровете на триъгълниците AOD и ВОС, е перпендикулярна на правата, съединяваща медицентровете на триъгълниците DOC и AOB.

Реклама

ins- · Пуснато на: Sat Feb 07, 2009 8:57 pm Заглавие:

Задачата ми се струва позната - давана е на Финален кръг на Олимпиада на Русия. Частен случай е даван на Българска олимпиада през 1989. Иначе е добра задача.

Baronov · Пуснато на: Wed Feb 18, 2009 12:21 pm Заглавие:

Ще използваме следната Лема:
Нека A, B, C, D са точки в равнината, такива, че отсечките AB и CD са перпендикулярни, тогава е в сила равенството : [tex]AD^{2}+BC^{2}=AC^{2}+BD^{2}[/tex]. Лемата се доказва лесно с помощта на Питагоровата теорема.
Нека [tex]H_{1}, H_{2}, M_{1}, M_{2}[/tex] са съответно ортоцентровете на ABO, CDO и средите на AD и BC. Задачата е еквивалентна на [tex]H_{1}H_{2}\bot M_{1}M_{2}[/tex], което е еквивалетно на [tex]H_{1}M_{1}^{2}+ H_{2}M_{2}^{2}=H_{1}M_{2}^{2}+H_{2}M_{1}^{2}[/tex]. Като използваме формула за медианата, за да изразим [tex]H_{i}M_{j}^{2}[/tex] и използваме лемата за двойките перпендикулярни отсечки .[tex]BH_{1} \bot AO, AH_{1} \bot BO, AH_{1} \bot DO, BH_{1} \bot CO[/tex] и аналогичните отсечки за [tex]H_{2}[/tex] и след една проста сметка, която ме мързи да напиша (наистина е проста, само заместваме и се получава).

r2d2 · Пуснато на: Wed Feb 18, 2009 1:16 pm Заглавие:

Baronov · Пуснато на: Wed Feb 18, 2009 2:08 pm Заглавие:

Сметките ги направих вчера наум в леглото преди да заспя, когато ми беше писнало от механика. С една дума, да лесни са. Просто се заместват всички отсечки както съм написал и се получава каквото трябва.
Не разбирам защо се заяждаш, това е форум, не е изпит. От това, което съм написал става ясно решението ми.

П.С. Изпуснал съм думата перпендикулярни в условието на лемата, вече е оправено. Дори и това би трябвало да е ясно за човек виждал геометрия през живота си.

r2d2 · Пуснато на: Wed Feb 18, 2009 2:23 pm Заглавие:

Teoремата, която цитира Баронов е: Нека A,B,C,D са четири точки в една равнина. [tex]AB \perp CD \;<=>\; AC^2+BD^2 =AD^2+BC^2[/tex].

Доказателства - разни, но според мен най-простото е със косинусови теореми или с вектори!

@Баронов - разбира се, ако човек е виждал тази теорема, знае за какво става дума, ама ако не я е виждал.
После не аз, а ти писа на Стрелеца нещо свързано с асистентите и това е повода за моето заяждане! Кой ти е бил асистент по ДиС(PM-please!)?