Регистрирайте сеРегистрирайте се

Задача 22


 
   Форум за математика Форуми -> Задача на седмицата
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Pinetop Smith
Фен на форума


Регистриран на: 12 May 2007
Мнения: 961
Местожителство: Хасково
Репутация: 153.6Репутация: 153.6
гласове: 87

МнениеПуснато на: Wed Jan 14, 2009 9:02 pm    Заглавие: Задача 22

Даден е изпъкнал четириъгълник ABCD. Диагоналите му АС и BD са пресичат в точка О. Да се докаже, че правата, която съединява ортоцентровете на триъгълниците AOD и ВОС, е перпендикулярна на правата, съединяваща медицентровете на триъгълниците DOC и AOB.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
ins-
Фен на форума


Регистриран на: 03 Oct 2007
Мнения: 567
Местожителство: Роман, София
Репутация: 56.6
гласове: 28

МнениеПуснато на: Sat Feb 07, 2009 8:57 pm    Заглавие:

Задачата ми се струва позната - давана е на Финален кръг на Олимпиада на Русия. Частен случай е даван на Българска олимпиада през 1989. Иначе е добра задача.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Baronov
Напреднал


Регистриран на: 05 Jun 2008
Мнения: 316

Репутация: 55.4
гласове: 39

МнениеПуснато на: Wed Feb 18, 2009 12:21 pm    Заглавие:

Ще използваме следната Лема:
Нека A, B, C, D са точки в равнината, такива, че отсечките AB и CD са перпендикулярни, тогава е в сила равенството : [tex]AD^{2}+BC^{2}=AC^{2}+BD^{2}[/tex]. Лемата се доказва лесно с помощта на Питагоровата теорема.
Нека [tex]H_{1}, H_{2}, M_{1}, M_{2}[/tex] са съответно ортоцентровете на ABO, CDO и средите на AD и BC. Задачата е еквивалентна на [tex]H_{1}H_{2}\bot M_{1}M_{2}[/tex], което е еквивалетно на [tex]H_{1}M_{1}^{2}+ H_{2}M_{2}^{2}=H_{1}M_{2}^{2}+H_{2}M_{1}^{2}[/tex]. Като използваме формула за медианата, за да изразим [tex]H_{i}M_{j}^{2}[/tex] и използваме лемата за двойките перпендикулярни отсечки .[tex]BH_{1} \bot AO, AH_{1} \bot BO, AH_{1} \bot DO, BH_{1} \bot CO[/tex] и аналогичните отсечки за [tex]H_{2}[/tex] и след една проста сметка, която ме мързи да напиша (наистина е проста, само заместваме и се получава).


Последната промяна е направена от Baronov на Wed Feb 18, 2009 2:02 pm; мнението е било променяно общо 1 път
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
r2d2
VIP


Регистриран на: 28 Feb 2007
Мнения: 1936
Местожителство: in the galaxy (Far Far Away)
Репутация: 311.2Репутация: 311.2
гласове: 179

МнениеПуснато на: Wed Feb 18, 2009 1:16 pm    Заглавие:

Baronov написа:
Ще използваме следната Лема:
Нека A, B, C, D са точки в равнината, такива, че отсечките AB и CD [tex]AD^{2}+BC^{2}=AC^{2}+BD^{2}[/tex]. Лемата се доказва лесно с помощта на Питагоровата теорема.


Е вече съм убеден, че ставаш за асистент!
Намислям си лема, няма да кажа каква! Тя се доказва лесно!
Задачата също е лесна, ама сметките ме мързи да ги направя!

Wellcome to the club! Twisted Evil
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Baronov
Напреднал


Регистриран на: 05 Jun 2008
Мнения: 316

Репутация: 55.4
гласове: 39

МнениеПуснато на: Wed Feb 18, 2009 2:08 pm    Заглавие:

Сметките ги направих вчера наум в леглото преди да заспя, когато ми беше писнало от механика. С една дума, да лесни са. Просто се заместват всички отсечки както съм написал и се получава каквото трябва.
Не разбирам защо се заяждаш, това е форум, не е изпит. От това, което съм написал става ясно решението ми.

П.С. Изпуснал съм думата перпендикулярни в условието на лемата, вече е оправено. Дори и това би трябвало да е ясно за човек виждал геометрия през живота си.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
r2d2
VIP


Регистриран на: 28 Feb 2007
Мнения: 1936
Местожителство: in the galaxy (Far Far Away)
Репутация: 311.2Репутация: 311.2
гласове: 179

МнениеПуснато на: Wed Feb 18, 2009 2:23 pm    Заглавие:

Teoремата, която цитира Баронов е: Нека A,B,C,D са четири точки в една равнина. [tex]AB \perp CD \;<=>\; AC^2+BD^2 =AD^2+BC^2[/tex].

Доказателства - разни, но според мен най-простото е със косинусови теореми или с вектори!

@Баронов - разбира се, ако човек е виждал тази теорема, знае за какво става дума, ама ако не я е виждал.
После не аз, а ти писа на Стрелеца нещо свързано с асистентите и това е повода за моето заяждане! Кой ти е бил асистент по ДиС(PM-please!)?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Задача на седмицата Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
You cannot attach files in this forum
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2020 math10.com.