Регистрирайте сеРегистрирайте се

Решете системата


 
   Форум за математика Форуми -> Неравенства
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Zlatinster
Напреднал


Регистриран на: 29 Mar 2007
Мнения: 391
Местожителство: Варна
Репутация: 31.3Репутация: 31.3Репутация: 31.3
гласове: 3

МнениеПуснато на: Wed Jan 14, 2009 3:41 pm    Заглавие: Решете системата

1. |x4-2x3+x2-8x-12≥0
|x4-x3-x2-x-2≤0

2. |x3-52+10x-12≤0
|x2-4x+3≥0
|x2-6x+8≤0
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Wed May 13, 2009 9:27 am    Заглавие:

[tex]\begin{array}{||}x^4-2x^3+x^2-8x-12\ge 0\\x^4-x^3-x^2-x-2\le 0 \end{array}[/tex]
Ще използваме теоремата на Безу: остатъкът от делението на многочлена [tex]P(x)[/tex] с линейния двучлен [tex]x-k[/tex] е числено равен на стойността на [tex]P(x)[/tex], когато [tex]x=k[/tex]. Оттук – ако [tex]k[/tex] е нула на полинома, то делението няма да даде остатък. Да разгледаме [tex]G(x)=x^4-x^3-x^2-x-2[/tex]. Цели нули на този полином могат да бъдат единствено числата [tex]\pm 1[/tex] и [tex]\pm 2[/tex] (делителите на свободния член). Тогава, за да установим действително ли някои от тези числа са нули на многочлена, трябва да пресметнем [tex]G(1), G(-1), G(2), G(-2)[/tex]:
[tex]*\, G(1)=1^4-1^3-1^2-1-2=\cancel 1-\cancel 1-1-1-2=-2-2=-4[/tex]; остатъкът [tex]r=-4, r\neq 0[/tex], откъдето числото [tex]1[/tex] не може да е нула на полинома;
[tex]*\, G(-1)=(-1)^4-(-1)^3-(-1)^2-(-1)-2=1-(-1)-1+1-2=1+\cancel 1-\cancel 1+1-2=2-2=0, r=0[/tex] – или полиномът [tex]G(x)[/tex] се дели без остатък на двучлена [tex]x+1[/tex], което показва, че [tex]-1[/tex] е нула;
[tex]*\, G(2)=2^4-2^3-2^2-2-2=16-8-4-2-2=0, r=0[/tex] – или [tex]G(x)[/tex] се дели без остатък на [tex]x-2[/tex] и [tex]2[/tex] е нула на полинома;
[tex]*\, G(-2)=(-2)^4-(-2)^3-(-2)^2-(-2)-2=16-(-8)-4-(-2)-2=16+8-4+\cancel 2-\cancel 2=20, r=24, r\neq 0 \Rightarrow[/tex] числото [tex]-2[/tex] не е нула.
Видяхме, че [tex]G(x)[/tex] се дели на [tex]x+1[/tex] и [tex]x-2[/tex]. Извършваме делението [tex](x^4-x^3-x^2-x-2):(x^2-x-2)[/tex], където [tex](x+1)(x-2)=x^2-x-2[/tex]. То може да бъде записано по следния начин:
[tex](x^4-x^3-x^2-x-2):(x^2-x-2)=x^2+1[/tex]
[tex]-[/tex]
[tex]x^4-x^3-2x^2[/tex]
[tex]..........[/tex]
[tex]x^2-x-2[/tex]
[tex]-[/tex]
[tex]x^2-x-2[/tex]
[tex]..........[/tex]
[tex]0[/tex].
Да поясним схемата на делението. Трябва да намерим такова число, което ще изравни степените на делимото и делителя. Степента на делимото е четвърта, а на делителя – втора. Тогава ще умножим делителя [tex]x^2-x-2[/tex] с [tex]x^2[/tex], за да стане и неговата степен четвърта. След умножението получаваме [tex]x^4-x^3-2x^2[/tex]. И сега по абсолютно същия начин като при делението на целите числа изваждаме от [tex]x^4-x^3-x^2[/tex] получения израз след умножението, в случая [tex]x^4-x^3-2x^2[/tex]. Достигаме до [tex]x^2-x-2[/tex] (след като сме свалили и последните цифри от делимото). Очевидно ще умножим делителя [tex]x^2-x-2[/tex] с [tex]+1[/tex], за да получим [tex]x^2-x-2[/tex]. Извършваме разликата, остатъкът е нула. Така получихме пълното разлагане на [tex]G(x)[/tex]: [tex]x^4-x^3-x^2-x-2=(x+1)(x-2)(x^2+1)[/tex].
Чрез използване на теоремата на Безу и следствието от нея, както и на правилото за деление на полиноми разлагаме [tex]x^4-2x^3+x^2-8x-12[/tex] до [tex](x+1)(x-3)(x^2+4)[/tex]. Дадената система се свежда до
[tex]\begin{array}{||}(x+1)(x-3)(x^2+4)\ge 0 \, |: (x^2+4)>0\\ (x+1)(x-2)(x^2+1)\le 0 \, |: (x^2+1)>0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{||}(x+1)(x-3)\ge 0 \\ (x+1)(x-2)\le 0 \end{array}[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Wed May 13, 2009 3:25 pm    Заглавие:

С една дума да намериш корените на уравнение от 4-та степен... Хорнер също би ти свършил идеална работа, стига да знаеш как да го използваш Smile
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Неравенства Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
You cannot attach files in this forum
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.