Адюнгирани матрици

[Relinquishmentor]

Ако [tex]A[/tex] и [tex]B[/tex] са две матрици от [tex]n[/tex]-ти ред, с [tex]\tilde{A}[/tex] и [tex]\tilde{B}[/tex] ще означаваме матриците, образувани от адюнгираните количества на съответните им детерминанти.

Въпрос: вярно ли е, че [tex]\tilde{AB} = \tilde{A}\tilde{B}[/tex] ?

[Реклама]

[nikko1]

Не, не е. Предполагаме, че матриците са неособенни.
Имаме [tex]A^{-1}=\frac{1}{\det A}\widetilde A \Rightarrow \widetilde A=\det(A) .A^{-1}[/tex]
Тогава [tex]\widetilde{AB}=\det(AB).(AB)^{-1}=\det A.\det B. B^{-1}A^{-1}=\widetilde{B}\widetilde{A}.[/tex]

[Relinquishmentor]

Искаш да кажеш, че [tex]A^{-1} = \frac{1}{\det A}\tilde{A}^t [/tex]
Освен това никъде не е казано, че матрицата е неособена.

[nikko1]

[nikko1]

Твърдението е вярно за безкрайни полета.

Първо ще докажа, че ако [tex]adj(A)=(A_{ij})^t[/tex] е транспонираната матрица от адюнгираните количества на матрицата [tex]A[/tex], то за всеки две матрици [tex]A, B\in M_n(\mathbb{R})[/tex] е изпълнено

[tex]\qquad(*)\qquad\qquad adj(AB)=adj(B).adj(A).[/tex]

Доказателство:
1) Нека [tex]A[/tex] и [tex]B[/tex] са неособени. За всяка неособена матрица [tex]A[/tex] е в сила [tex]A^{-1}=\frac{1}{\det A}adj(A)[/tex] или
[tex]adj(A)=\det A.A^{-1}[/tex]. Тогава и за обратимата матрица [tex]AB[/tex] е изпълнено [tex]adj(AB) = \det(AB)(AB)^{-1}=\det A.\det B.B^{-1}.A^{-1}=\det B.B^{-1}.\det A.A^{-1}=adj(B).adj(A).[/tex]

2) Нека [tex]A[/tex] е неособена, а [tex]B[/tex] - особена. Разглеждаме матрицата [tex]B(x)=B+x.E_n.[/tex]
[tex]\det B(x)[/tex] е полином на [tex]x[/tex] от [tex]n[/tex]-та степен и следователно има най-много [tex]n[/tex] корена. Тогава [tex]B(x)[/tex] е особена само за краен брой [tex]x\in\mathbb{R}.[/tex] Разглеждаме матрицата [tex]M(x)=adj\left(A.B(x)\right)-adj(B(x)).adj(A),[/tex] която е матрица с коефициенти в [tex]\mathbb{R}[x][/tex] и всеки от тях е полином от степен най-много [tex]n[/tex], а матрицата [tex]M(x)[/tex] е нулева за безброймного стойности на [tex]x[/tex], т.к. [tex]B(x)[/tex] е неособена за безкраен брой стойности и за всяка от попадаме в случай 1). Тогава матрицата [tex]M(x)[/tex] е нулевата и [tex]M(0)=adj(AB)-adj(B).adj(A)=0,[/tex] откъдето следва [tex](*)[/tex]. Аналогично се доказва равенството и когато [tex]A[/tex] е особена, а [tex]B[/tex] - неособена.

3) Нека [tex]A[/tex] и [tex]B[/tex] са особени матрици. Да разгледаме матриците [tex]A(x)=A+x.E_n,\qquad B(x)=B+x.E_n.[/tex] Двете матрици са едновременно неособени за безкраен брой стойности на [tex]x[/tex].
Нека [tex]M(x)=adj\left(A(x).B(x)\right)-adj(B).adj(A).[/tex] Имаме матрица с коефициенти полиноми на [tex]x[/tex] от крайна степен и тази матрица е нулева за безкраен брой стойности на [tex]x[/tex] (това са стойностите, при които [tex]A(x)[/tex] или [tex]B(x)[/tex] е неособена, тогава попадаме в случай 2)). Следователно [tex]M(x)\equiv 0[/tex] и получаваме [tex]M(0)=adj\left(A.B\right)-adj(B).adj(A)=0,[/tex] от където следва [tex](*)[/tex].

Имаме [tex]\widetilde{A}=adj(A)^t.[/tex] Тогава [tex]\widetilde{AB}=adj(AB)^t=\left(adj(B)adj(A)\right)^t=adj(A)^t.adj(B)^t=\widetilde{A}\widetilde{B}.[/tex]