Редицата на Лукас, скрита в една много съдържателна задача

Titu_Andrescu

За три дадени реални числа a, b и c нека s_n=aⁿ+bⁿ+cⁿ. Оказало се, че s₁=2, s₂=6 и s₃=14. Да се докаже, че |s_n²-s_n-1.s_n+1|=8, за всяко естествено число n>1.

Задачата е от последния кръг на 36-тата национална олимпиада в Австрия, провела се на 30 Май 2005 г.

Коментар: Задачата е много лесна. Щом аз я реших за 5 минути.
Успех!

http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=748

Реклама

sd_pld

Titu_Andrescu · Пуснато на: Thu Jan 11, 2007 5:20 pm Заглавие:

Извинявам се, s₃=14

krassi_holmz · Пуснато на: Mon May 21, 2007 5:25 pm Заглавие:

еее че толкова прости задачи ли дават на националните в Австрия?

krassi_holmz · Пуснато на: Mon May 21, 2007 5:33 pm Заглавие:

Само не разбирам каква е връзката с редицата на Лукас - това нали беше като Фибоначи само че първите два члена са 2,1?

Titu_Andrescu · Пуснато на: Tue May 22, 2007 1:11 pm Заглавие:

krassi_holmz, как ли решаваш системата? А връзката с редицата на Лукас е рекурентната формула: Еднаква е Smile

krassi_holmz · Пуснато на: Wed May 23, 2007 6:22 pm Заглавие:

"krassi_holmz, как ли решаваш системата?" - стандартно с полагане и формулата на Кардано...
Шегувам се - не е трудно да се забележи, че системата е симетрична и оттук на помощ идват симетричните полиноми.
И за наше щастие, оказва се, че произведението на трите числа е нула, което автоматически означава че поне едно от чеслата е нула. Оттам е лесно - система с две уравнения - линейно и квадратно и две неизвестни.
После само трябва да проверим за третото уравнение.
И титу - нещо не мога да те разбера ча редичата на Лукас - за редицата от задачата е валидна рекурсията x_n=2*x_{n-1}+x_{n-2}, а за редицата на Лукас беше, доколкото си спомням, същата като на Фибоначи -
L(n)=L(n-1)+L(n-2)?

http://en.wikipedia.org/wiki/Lucas_number