параметрично неравенство

[Кристиан Петков]

Имаме [tex]x^{2}-2ax+8>=0[/tex]. a=?, за да бъдат всички цели числа решения на неравенството. (последна задача от изпита за СУ година ????)

[Реклама]

[Spider Iovkov]

[tex]f(x)x^2-2ax+8[/tex]
Трябва да определим за кои значения на параметъра [tex]a[/tex] е изпълнено [tex]f(x)\ge 0[/tex] за всички цели числа. Ако е изпълнено за всяко реално [tex]x[/tex], то ще е вярно и за всяко цяло такова. Затова имаме
[tex]\begin{array}{||}a_{0}>0\\b^2-4a_{0}c\le 0 \end{array} \Leftrightarrow (-2a)^2-4.8\le 0 \Leftrightarrow 4a^2-4.8 \le 0 \Leftrightarrow a^2-8\le 0 \Leftrightarrow a\in [-2\sqrt{2};2\sqrt{2}][/tex].
Сега, ако [tex]b^2-4a_{0}c>0 \Leftrightarrow a\in (-\infty;-2\sqrt{2})\cup (2\sqrt{2};+\infty)[/tex], и [tex]x_{2}>x_{1}[/tex], тогава [tex]f(x)\ge 0[/tex] за всяка цяла стойност на променливата [tex]x[/tex], ако
[tex]\begin{array}{||}k+1>x_{1}> k\\k+1> x_{2}>k\end{array}[/tex],
като тук [tex]k[/tex] е някакво цяло число. Почленно умножаваме неравенствата и ги събираме и прилагайки Виетовите формули, достигаме до
[tex]\begin{array}{||}(k+1)^2>x_{1}x_{2}>k^2\\2(k+1)>x_{1}+x_{2}>2k\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{||}(k+1)^2>8>k^2\\k+1>a>k\end{array} \Rightarrow k=\pm 2; a\in \begin{array}{||}(k;k+1) \Leftrightarrow (2;3)\\(k;k+1) \Leftrightarrow (-3;-2)\end{array}[/tex] според двете получени стойности за [tex]k[/tex].
Понеже [tex]b^2-4a_{0}c>0[/tex] за [tex]a\in (-\infty;-2\sqrt{2})\cup (2\sqrt{2};+\infty)[/tex], от [tex]a\in (2;3) \Rightarrow f(2)=2^2-2.2.a+8=12-4a, 12-4a\ge 0; f(3)=3^2-2.3.a+8=17-6a, 17-6a\ge 0 \Rightarrow a\in (2\sqrt{2};\frac{17}{6})[/tex].
Когато обаче [tex]a\in (-3;-2)[/tex], то имаме [tex]f(-3)=(-3)^2+2.3.a+8=17+6a, 17+6a\ge 0; f(-2)=(-2)^2+2.2.a+8=12+4a, 12+4a\ge 0 \Rightarrow a\in [-\frac{17}{6};-2\sqrt{2})[/tex].
Тогава [tex]x^2-2ax+8\ge 0[/tex] за всяко цяло [tex]x[/tex], когато [tex]a\in [-\frac{17}{6};\frac{17}{6}][/tex].

[Baronov]

Имаш грешка. Прк к = -2, [tex](k+1)^{2}\geq 8 \geq k^2[/tex] не е изпълнено.

[Кристиан Петков]

Като цяло ми е ясно, но имам два въпроса:
1. как получаваш к=2;-2;
2.след като при к=-2 не е изпълнено неравенството, остава само случаят к=2 и съответно се взима само отговорът от него(така ли е?)

[r2d2]

Ще разгледам само случая а>=0 (а<0 е аналогичен).
Ясно е, че ако [tex]D<0 \; => \;a<\sqrt{8}[/tex]решения са всички числа.
Нека [tex]D \ge 0.[/tex] Тогава числата от интервала [tex](x_1, x_2) [/tex]не са решения на неравенството.
Ако този интервал е с дължина >=1, то в него се садържа поне едно цяло число. Зна4и необходимо условие всички цели числа да са решения е [tex]|x_2 -x_1|<1.[/tex]

[tex]D \ge 0 \Rightarrow a \ge \sqrt{8}[/tex].
[tex]|x_2-x_1|<1 \Rightarrow (x_1+x_2)^2-4x_1x_2<1 \Rightarrow a < \frac {\sqrt{33}}{2}[/tex].

И така a [tex]\in [\sqrt {8}, \frac {\sqrt{33}}{2})[/tex]. Върхът на параболата е с абсциса х=а, а корените са симетрично разположени спрямо върха. Лесно се съобразява, че най-близко до а е цялото число 3. Трябва да поискаме 3 да е решение на неравенството (от симетрията ще следва, че и 2 също ще е решение) или [tex]9-6a+8 \ge 0 \Rightarrow a \le 17/6.[/tex]

[Кристиан Петков]

[ганка симеонова]

КаК може, да ти харесва нещо, което същевременно не си разбрал?

[Кристиан Петков]

имам предвид,че като цяло ми харесва как го е направил. просто явно като теория не мога да загрея какво означава, че корените са симетрично разположени спрямо върха на параболата и трябва след това да вземем х=3; иначе всичко друго ми е кристално ясно

[ганка симеонова]

Всяка парабола има ос на симетрия- права минаваща през върха и перпендикулярна на оста Ох. Всички точки, равноотдалечени от тази ос имат едни и същи втори координати.

[some]

[Кристиан Петков]

some, ти къде учиш?????????????????????

[some]