Регистрирайте сеРегистрирайте се

параметрично неравенство


 
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Кристиан Петков
Начинаещ


Регистриран на: 20 Dec 2008
Мнения: 53

Репутация: 6.3Репутация: 6.3Репутация: 6.3Репутация: 6.3Репутация: 6.3Репутация: 6.3

МнениеПуснато на: Tue Jan 13, 2009 7:28 pm    Заглавие: параметрично неравенство

Имаме [tex]x^{2}-2ax+8>=0[/tex]. a=?, за да бъдат всички цели числа решения на неравенството. (последна задача от изпита за СУ година ????)
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Thu Jan 15, 2009 10:32 am    Заглавие:

[tex]f(x)x^2-2ax+8[/tex]
Трябва да определим за кои значения на параметъра [tex]a[/tex] е изпълнено [tex]f(x)\ge 0[/tex] за всички цели числа. Ако е изпълнено за всяко реално [tex]x[/tex], то ще е вярно и за всяко цяло такова. Затова имаме
[tex]\begin{array}{||}a_{0}>0\\b^2-4a_{0}c\le 0 \end{array} \Leftrightarrow (-2a)^2-4.8\le 0 \Leftrightarrow 4a^2-4.8 \le 0 \Leftrightarrow a^2-8\le 0 \Leftrightarrow a\in [-2\sqrt{2};2\sqrt{2}][/tex].
Сега, ако [tex]b^2-4a_{0}c>0 \Leftrightarrow a\in (-\infty;-2\sqrt{2})\cup (2\sqrt{2};+\infty)[/tex], и [tex]x_{2}>x_{1}[/tex], тогава [tex]f(x)\ge 0[/tex] за всяка цяла стойност на променливата [tex]x[/tex], ако
[tex]\begin{array}{||}k+1>x_{1}> k\\k+1> x_{2}>k\end{array}[/tex],
като тук [tex]k[/tex] е някакво цяло число. Почленно умножаваме неравенствата и ги събираме и прилагайки Виетовите формули, достигаме до
[tex]\begin{array}{||}(k+1)^2>x_{1}x_{2}>k^2\\2(k+1)>x_{1}+x_{2}>2k\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{||}(k+1)^2>8>k^2\\k+1>a>k\end{array} \Rightarrow k=\pm 2; a\in \begin{array}{||}(k;k+1) \Leftrightarrow (2;3)\\(k;k+1) \Leftrightarrow (-3;-2)\end{array}[/tex] според двете получени стойности за [tex]k[/tex].
Понеже [tex]b^2-4a_{0}c>0[/tex] за [tex]a\in (-\infty;-2\sqrt{2})\cup (2\sqrt{2};+\infty)[/tex], от [tex]a\in (2;3) \Rightarrow f(2)=2^2-2.2.a+8=12-4a, 12-4a\ge 0; f(3)=3^2-2.3.a+8=17-6a, 17-6a\ge 0 \Rightarrow a\in (2\sqrt{2};\frac{17}{6})[/tex].
Когато обаче [tex]a\in (-3;-2)[/tex], то имаме [tex]f(-3)=(-3)^2+2.3.a+8=17+6a, 17+6a\ge 0; f(-2)=(-2)^2+2.2.a+8=12+4a, 12+4a\ge 0 \Rightarrow a\in [-\frac{17}{6};-2\sqrt{2})[/tex].
Тогава [tex]x^2-2ax+8\ge 0[/tex] за всяко цяло [tex]x[/tex], когато [tex]a\in [-\frac{17}{6};\frac{17}{6}][/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Baronov
Напреднал


Регистриран на: 05 Jun 2008
Мнения: 316

Репутация: 55.4
гласове: 39

МнениеПуснато на: Thu Jan 15, 2009 10:54 am    Заглавие:

Имаш грешка. Прк к = -2, [tex](k+1)^{2}\geq 8 \geq k^2[/tex] не е изпълнено.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Кристиан Петков
Начинаещ


Регистриран на: 20 Dec 2008
Мнения: 53

Репутация: 6.3Репутация: 6.3Репутация: 6.3Репутация: 6.3Репутация: 6.3Репутация: 6.3

МнениеПуснато на: Thu Jan 15, 2009 12:16 pm    Заглавие:

Като цяло ми е ясно, но имам два въпроса:
1. как получаваш к=2;-2;
2.след като при к=-2 не е изпълнено неравенството, остава само случаят к=2 и съответно се взима само отговорът от него(така ли е?)
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
r2d2
VIP


Регистриран на: 28 Feb 2007
Мнения: 1936
Местожителство: in the galaxy (Far Far Away)
Репутация: 311.2Репутация: 311.2
гласове: 179

МнениеПуснато на: Fri Jan 16, 2009 12:51 pm    Заглавие:

Ще разгледам само случая а>=0 (а<0 е аналогичен).
Ясно е, че ако [tex]D<0 \; => \;a<\sqrt{8}[/tex]решения са всички числа.
Нека [tex]D \ge 0.[/tex] Тогава числата от интервала [tex](x_1, x_2) [/tex]не са решения на неравенството.
Ако този интервал е с дължина >=1, то в него се садържа поне едно цяло число. Зна4и необходимо условие всички цели числа да са решения е [tex]|x_2 -x_1|<1.[/tex]

[tex]D \ge 0 \Rightarrow a \ge \sqrt{8}[/tex].
[tex]|x_2-x_1|<1 \Rightarrow (x_1+x_2)^2-4x_1x_2<1 \Rightarrow a < \frac {\sqrt{33}}{2}[/tex].

И така a [tex]\in [\sqrt {8}, \frac {\sqrt{33}}{2})[/tex]. Върхът на параболата е с абсциса х=а, а корените са симетрично разположени спрямо върха. Лесно се съобразява, че най-близко до а е цялото число 3. Трябва да поискаме 3 да е решение на неравенството (от симетрията ще следва, че и 2 също ще е решение) или [tex]9-6a+8 \ge 0 \Rightarrow a \le 17/6.[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Кристиан Петков
Начинаещ


Регистриран на: 20 Dec 2008
Мнения: 53

Репутация: 6.3Репутация: 6.3Репутация: 6.3Репутация: 6.3Репутация: 6.3Репутация: 6.3

МнениеПуснато на: Fri Jan 16, 2009 6:40 pm    Заглавие:

r2d2 написа:
Върхът на параболата е с абсциса х=а, а корените са симетрично разположени спрямо върха. Лесно се съобразява, че най-близко до а е цялото число 3. Трябва да поискаме 3 да е решение на неравенството (от симетрията ще следва, че и 2 също ще е решение) или [tex]9-6a+8 \ge 0 \Rightarrow a \le 17/6.[/tex]


явно ми е още рано за такива задачи Exclamation решението наистина ми харесва, само това не го разбрах. ако можеш да го обясниш, ще съм ти много благодарен Very Happy
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Fri Jan 16, 2009 6:47 pm    Заглавие:

КаК може, да ти харесва нещо, което същевременно не си разбрал? Rolling Eyes
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Кристиан Петков
Начинаещ


Регистриран на: 20 Dec 2008
Мнения: 53

Репутация: 6.3Репутация: 6.3Репутация: 6.3Репутация: 6.3Репутация: 6.3Репутация: 6.3

МнениеПуснато на: Fri Jan 16, 2009 7:49 pm    Заглавие:

имам предвид,че като цяло ми харесва как го е направил. просто явно като теория не мога да загрея какво означава, че корените са симетрично разположени спрямо върха на параболата и трябва след това да вземем х=3; иначе всичко друго ми е кристално ясно Laughing Laughing
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Fri Jan 16, 2009 7:55 pm    Заглавие:

Всяка парабола има ос на симетрия- права минаваща през върха и перпендикулярна на оста Ох. Всички точки, равноотдалечени от тази ос имат едни и същи втори координати.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
some
Начинаещ


Регистриран на: 16 Jan 2009
Мнения: 2


МнениеПуснато на: Fri Jan 16, 2009 8:08 pm    Заглавие:

Кристиан Петков написа:
имам предвид,че като цяло ми харесва как го е направил. просто явно като теория не мога да загрея какво означава, че корените са симетрично разположени спрямо върха на параболата и трябва след това да вземем х=3; иначе всичко друго ми е кристално ясно Laughing Laughing


Да кажеш на Николов да ти дава повече задачки! Evil or Very Mad
Как може!
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Кристиан Петков
Начинаещ


Регистриран на: 20 Dec 2008
Мнения: 53

Репутация: 6.3Репутация: 6.3Репутация: 6.3Репутация: 6.3Репутация: 6.3Репутация: 6.3

МнениеПуснато на: Fri Jan 16, 2009 9:16 pm    Заглавие:

some, ти къде учиш?????????????????????
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
some
Начинаещ


Регистриран на: 16 Jan 2009
Мнения: 2


МнениеПуснато на: Fri Jan 16, 2009 10:32 pm    Заглавие:

Кристиан Петков написа:
some, ти къде учиш?????????????????????



ПР-то! Не ми ли личи? Very Happy
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.