Хубава задача

[uktc]

Ето ви една добра задачка.

Давана беше на някаква олимпиада, областен кръг ако не се лъжа.
Има един начин, ползващ 5-та степен, който не е желателно да ползвате.
Търсете някое по-елегантно решение .

[Реклама]

[Tony_89]

cos(x - п/4)*(1 - 4*cos(2*x)²) = 2*cos(4*x) + 3

2*cos(4*x) + 3 = 2*(2*cos(2*x)² - 1) + 3 =
= 1 + 4*cos(2*x)² =>
=> При 1 - 4*cos(2*x)² ≠ 0 :

cos(x - п/4) = (1 + 4*cos(2*x)²)/(1 - 4*cos(2*x)²)

1 - 4*cos(2*x)² ≠ 0
cos(2*x) ≠ ±1/2

cos(x - п/4) = (1 + 4*cos(2*x)²)/(1 - 4*cos(2*x)²) =>
=> (1 + 4*cos(2*x)²)/(1 - 4*cos(2*x)²) E [-1 ; 1]

Нека cos(2*x) = u E [-1 ; 1]

(1 + 4*u²)/(1 - 4*u²) E [-1 ; 1]

(1 + 4*u²)/(1 - 4*u²) ≥ -1
u E (-1/2 ; 1/2)

(1 + 4*u²)/(1 - 4*u²) ≤ 1
|u E (-∞ ; -1/2) U {0} U (1/2 ; +∞)
|u E (-1/2 ; 1/2) =>
=> u = 0
cos(2*x) = 0
2*x = п/2 + k*п k E Z
x = п/4 + k*п/2

Заместваме в началното уравнение и получаваме:
cos(k*п/2) = 1 =>
=> k трябва да се дели на 4, т.е. k = 4*l l E Z =>
=> x = п/4 + 2*l*п

[uktc]

Браво Тони, браво!

Ето моето решение.
cos(x-п/4)(1-4(cox2x)^2)-2cos4x=3
Но (cox2x)^2=(1+cos4x)/2
След кратко преобразувание стигаме до уравнението
cos4x=-(t+3)/[2(t+1)],
където t=cos(x-п/4), t E [-1;1]
Най-малката стойност на cos4x e -1, най-голямата стойност на -(t+3)/[2(t+1)] при t E [-1;1] е -1 и се достига при t=1, защото първата производна е положителна.
=> решенията на уравнението са решенията на системата:
|cos4x=-1
|-(t+3)/[2(t+1)] =-1 <=>t=1
Решенията и на двете уравнения са ъглите x=п/4 +2kп.

Още веднъж браво, не се бях сетил за твоя начин.