Математическа индукция

[ferry2]

Здравейте! Скоро взехме математическа индукция и реших да се поупражнявам малко, но тези задачи ме затрудняват! Ако може да ми дадете някои съвети за тях?

Да се докажат равенствата:

1з. [tex]\sum_{i=1}^{n} (i-1)i=\frac{(n-1)n(n+1)}{3}[/tex]

2з. [tex]\prod_{i=0}^{n}\cos 2^i x=\frac{\sin(2^{n+1}x)}{2^{n+1}{\sin x}}[/tex]

Да се докаже неравенството:

3з. [tex]|\sin n x|\le n|\sin x|[/tex]

4з. Ако [tex]a_1=\cos \theta, a_2=\cos 2 \theta[/tex] и за всяко [tex]k>2,k\in \mathbb{N}[/tex] е изпълнено [tex]a_n=2 a_{k-1}\cos \theta -a_{k-2}[/tex], то докажете, че [tex]a_n=\cos n \theta[/tex] за всяко [tex]n\in \mathbb{N}[/tex]

[Реклама]

[Пафнутий]

1вата: Ще ти дам направо индукционната стъпка. Имаш, че [tex]\sum_{i=1}^k (i-1)i=\frac{(k-1)k(k+1)}{3}[/tex] , тогава [tex]\sum_{i=1}^{k+1} (i-1)i=\sum_{i=1}^k (i-1)i + k(k+1)=\frac{(k-1)k(k+1)}{3} + k(k+1)=\frac{(k+2)k(k+1)}{3}[/tex]. За другите не мога да ти помогна, защото още не я знам тригонометрията(в най-скоро време и това ще стане )

[ferry2]

Първата си я реших и сам, както винаги съм допуснал техническа грешка и затова не ми се получаваше ! Остават другите три !

[nikko1]

2 з.
Индукция по n.
1) n=0, [tex]\cos x[/tex] дали е равно на [tex]\frac{\sin 2x}{2\sin x}=\frac{2\cos x\sin x}{2\sin x}=\frac{\not{2}\cos x\not{\sin x}}{\not{2}\not{\sin x}}[/tex] - вярно;
2) Допускаме, че равенството е изпълнено за някое естествено число [tex]n-1[/tex], т.е
[tex]A=\cos x.\cos 2x\ \cdots\ \cos 2^{n-1}x=\frac{\sin (2^nx)}{2^n\sin x}[/tex]
3) Ще докажем твърдението за n.
Имаме [tex]\cos x.\cos 2x\ \cdots\ \cos 2^{n-1}x\cos 2^{n}x=A\cos 2^{n}x=\frac{\sin (2^nx).\cos (2^{n}x)}{2^n\sin x}=\frac{\frac{\sin (2^{n+1}x)}{2}}{2^n\sin x}=\frac{\sin (2^{n+1}x)}{2^{n+1}\sin x}.[/tex]
От 1), 2) и 3) по метода на пълната математическа индукция следва твърдението.

[nikko1]

За 4-та задача нещо не ми харесва в индексите.
Ето тук [tex]a_n=2 \cos a_{k-1}-a_{k-2}.[/tex]
Виж и си ги оправи.

[ferry2]

Оправих условието! Успях и сам да си я реша, нека само някой провери решението да ми каже дали е вярно !

По условие твърдението [tex]a_n=\cos n \theta [/tex] за [tex]n=1,n=2[/tex]. Допускаме, че е вярно за някои [tex]n-1[/tex] и [tex] n[/tex] при [tex] n>1[/tex], т.е. [tex]a_{n-1}=\cos (n-1) \theta[/tex] и [tex] a_n=\cos n \theta[/tex]

[tex]\Rightarrow a_{n+1}=2a_n\cos \theta - a_{n-1}=2\cos \theta \cos n \theta- \cos (n-1) \theta=2 \cos \theta \cos n \theta - (\cos n \theta \cos \theta + \sin n \theta \sin \theta)=[/tex]

[tex]=\cos n \theta \cos \theta - \sin n \theta \sin \theta= \cos (n+1) \theta \Rightarrow [/tex] твърдението [tex]a_n=\cos n \theta[/tex] е вярно