трудно неравенство

[Кристиан Петков]

Да се докаже, че ако a,b,c >=0, то
[tex]\sqrt[3]{abc} <=\frac{a+b+c}{3}[/tex]

[Реклама]

[Baronov]

http://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_of_arithmetic_and_geometric_means#Proof_by_induction

[Пафнутий]

Полагаме [tex]a=x^3,b=y^3,c=z^3[/tex] като [tex]x,y,z\ge0[/tex], тогава неравенството е:
[tex]\frac{x^3+y^3+z^3}{3}\ge xyz \Leftrightarrow \frac{(x+y+z)((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2)}{2}\ge 0 [/tex], което е вече очевидно

[Кристиан Петков]

хитро трябва да го запомня това

[Пафнутий]

То това си е директно следствие то средно аритметично и средно геометрично, както е написал и Баронов. Хубаво е него да запомниш

[Кристиан Петков]

то е директно следствие наистина, но се искаше да се докаже без да се използват на готово средно геометрично и средно алгебрично; но все пак благодаря за съвета

[Кристиан Петков]

ъъъъ само един малък въпрос (може би защото е 11.30 ) как от [tex]x^{3}+y^{3}+z^{3}[/tex] се получава това което е след това в числителя, защото нещо сега не мога да си го разложа

[Spider Iovkov]

Трябва да докажем, че е изпълнено неравенството [tex]\frac{x^3+y^3+z^3}{3}\ge xyz[/tex]. То е еквивалентно на [tex]x^3+y^3+z^3-3xyz\ge 0[/tex]. Сега да разложим на множители [tex]x^3+y^3+z^3-3xyz[/tex]. Първо използваме, че [tex]x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)[/tex]. В такъв случай получаваме
[tex]x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3-3xyz=[(x+y)^3+z^3]-[3xy(x+y)+3xyz]=(x+y+z)[(x+y)^2-(x+y)z+z^2]-3xy(x+y+z)=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)[/tex].
Сега да се върнем към първоначалното, което трябваше да докажем, а именно
[tex]x^3+y^3+z^3-3xyz\ge 0[/tex].
Като използваме вече разложения вид на израза, достигаме до
[tex](x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)\ge 0[/tex].
Но [tex]x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz[/tex] и [tex]x+y+z\ge 0[/tex]. Тогава [tex]x^3+y^3+z^3-3xyz\ge 0 \Leftrightarrow x^3+y^3+z^3\ge 3xyz |:3 \Leftrightarrow \frac{x^3+y^3+z^3}{3}\ge xyz[/tex].