Редица

[JusTok]

Редицата от числа а₀,а₁,...,а_n,... е дефинирана по следния начин: a₀=0,а₁=1 и за всяко n=2,3... членът а_n е най-малкото число което не образува аритметична прогресия с никои два от предишните членове на редицата. Да се докаже,че числото a_n се получава след като n се запише в двоична бройна система и се прочете в троична.

[Реклама]

[Baronov]

Пак ще ми се карате, че не пиша цели решения, затова предупреждавам, това долу НЕ е цяло решение. Моля, не ми пишете двойки, не ми казвайте, че съм преписал и не ми казвайте колко точки ще изкарам по системата Глазгоу.
Значи първо това е вярно за произволно просто число ( на мястото на 3).
Трябва да се докажат 2 неща.
Първо няма три числа които нямат 2 в троичния си запис и образуват аритметична прогресия. Доказва се с допускане на противното и разглеждане на най-малката (ненулева ) цифра на разликата на такава прогресия (или нещо подобно).
Второ трябва да се докаже, че точно тези числа са минималните. Т.е. ако допуснем, че до някъде сме взимали само числа без 2 в троичен запис, и допуснем, че текущия член на редицата има 2, ще получим противоречие, защотото той би образувал аритметична прогресия с двата предишни члена, които имат 1 и 0 на мястото на 2-ката на текущия.