Обем на пирамида

[Eragon300]

Зад.1
Основата ABC на триъгълна пирамида ABCM е правоъгълен триъгълник,в който AC=6, BC=8 и <ACB=90*.
а) Да се намери обемът на пирамидата, ако всичките околни ръбове
имат дължина 13.(решил съм я)
б) Да се намери пълната повърхнина на пирамидата, ако стената MAB
е перпендикулярна на основата, а другите две стени сключват равни
ъгли 60* с основата.

Зад.2
Основата на пирамида е раснобедрен трапец с голяма основа 'а', тъп
ъгъл α и бедра, равни на малката основа. Всички околни ръбове на пирамидата сключват с равнината на основата ъгъл β
Да се намери обемът на пирамидата.[/code]

[Реклама]

[uktc]

Абе на 1ва б) получих някакъв смотан отговор... S₁=24/7[21+5sqrt(3)]. Ако е верен кажи за да знам дали да си правя труда да ти пиша решението...
П.П. Умирам си от яд, че 24 не се дели на 7... щяха да ми се спестят 2 часа сметки

[Eragon300]

Отговорите не ги знам, но напиши решенията pls.

[uktc]

Нека О е ортог. проекц. на М в (ABC).
Разглеждаме (ABC).
Нека OP перпендик. на AC (P E AC).
Нека ОQ перпендик. на BC (Q E BC).
От Th. 3те перпендик. => МP перпендик. на AC и че MQ e pерпендик. на BC.
Триъгълниците POM и QOM са еднакви по 2 ъгъла и обща страна.
=> ОP=ОQ, т.е. т.О е на равни разстояния от AC и BC.
=> CO- ъглопол. на ъгъл ACB.
От тук намираш CO=AC.BC.sqrt(2)/(AC+BC)=24sqrt(2)/7.
По косинусова теорема за триъг. AOC намираш AO=30/7.
От тук PO=AB-AO=24/7.
За триъг. POM знаеш ъгъла 60* и страната PO=24/7. Чрез tg намираш OM=24sqrt(3)/7. Намираш и PM=48/7 чрез cos за същия триъг.
PM=MQ.
Вече от тук можеш да намериш лицата на четирите околни стени. Събираш ги и получаваш повърхнината.

Направи сметките и кажи дали получаваш същите отговори...

[uktc]

[uktc]

2 зад.
Мързи ме да я решавам цялата, ще дам напътствия само.

Означи AD=CD=BC=x. AH=(a-x)/2.
От триъгълник AHD имаме cos(180*-α)=AH/x, откъдето получаваш x=a/(1-2cosα).
Около основата може да се опише окръжност, защото това е равнобедрен трапец.
Описаната около трапеца окръжност е същата, която е описана около триъгълник ACD. Значи търсим радиуса на описаната около тр. ACD окръжност.
За тази цел ще ни трябва AC. Сещам се за 2 начина за намирането й.
Стандартния начин е чрез косинусова теорема.
Нестандартния начин е чрез теоремата на Птоломей за вписания в окръжност четириъгълник. AC^2=AB.CD+BC.AD. В това уравнение всичко отдясно ти е известно и намираш AC.
Намерил си AC.
Прилагаш sin Th за тр. ACD и намираш BO.
След като знаеш <OBV=β, tgβ=OV/OB, намираш височината ОV и оттам обема на пирамидата, като предварително си намерил DH от тр ADH, за да можеш да намериш лицето на основата.

[uktc]

Сега се сетих, че OB може да се намери по много по-лесен начин.
тр. ACD е равнобедрен
=><DAC=(180°-α)/2=90°-α/2
Вече от синусовата теорема за тр. ACD имаме
CD/sin(90°-α/2)=2OB и оттук намираш OB.