Проверка на две задачки

[MetaDream]

Здравейте,
Можете ли да погледнете две задачки и да ми кажете дали се решават така, както мисля
1-вата просто да ми кажете дали е така, а за 2-рата предполагам че има много по-кратък начин, ама не се сещам..някой ако каже какъв е ще съм благодарен

Ето задачките :

[Реклама]

[nikko1]

Първата задача не е така. Трябва да получиш комплексно число, което може да е или в алгебричен вид, т.е. [tex]z=a+i.b,\ a,\ b\in\mathbb{R}[/tex] или в тригонометричен вид, т.е. [tex]z=|z|\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right).[/tex]
Освен това корен n-ти от комплксно число, а -16 си е комплексно число има n решения, т.е. трябва да получиш 4 решения за задачата.

[MetaDream]

Знаех си, че не може да е толкова просто

А някой да напише и едно решение.. ?

[nikko1]

Добре.
Ами за да се сметне корен от комплексно число представяш в тригонометричен вид.
[tex]z=|z|\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right),[/tex] където
[tex]|z|=\sqrt{Re(z)^2+Im(z)^2},[/tex] където [tex]Re(z)[/tex] е реалната част на числото, в случая [tex]-16[/tex], а [tex]Im(z)[/tex] - имагинерната, а тя за това число е 0.
Тогава [tex]|z|=16[/tex]. Сега трябва да пресметнем аргумента, т.е. ъгъла [tex]\varphi[/tex], който сключва вектора [tex]\vec{OM}[/tex], за т. [tex]M (Re(z), Im(z)), М(-16, 0)[/tex], a т. O е началото на координатната система, т.е. O(0,0).
т. M ще лежи върху оста Ox и се намира в ляво от т. O, следователно [tex]\varphi=\pi[/tex] или [tex]-16=16(\cos\pi+i\sin\pi)[/tex].
Сега използваме форумата за коренуване на комплексно число в тригонометричен вид
[tex]\sqrt[n]{|z|(\cos\varphi+i\sin\varphi)}=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\frac{\varphi+2k\pi}{n}+i.\sin\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right),[/tex] където k е параметър приемащ n последователни естествени стойности, най-често [tex]k=0,\ 1, \dots,\ n-1.[/tex]
В конкретния случаи
[tex]\sqrt[4]{16|(\cos\pi+i\sin\pi)}=\sqrt[4]{16}\left(\cos\frac{\pi+2k\pi}{4}+i.\sin\frac{\pi+2k\pi}{4}\right)=2\left(\cos\frac{\pi+2k\pi}{4}+i.\sin\frac{\pi+2k\pi}{4}\right).[/tex]
При [tex]k=0[/tex] имаме първо решение [tex]z_0=2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i.\sin\frac{\pi}{4}\right)=2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\sqrt{2}+i\sqrt{2}.[/tex]
При [tex]k=1[/tex] имаме второ решение [tex]z_1=2\left(\cos\frac{\pi+2\pi}{4}+i.\sin\frac{\pi+2\pi}{4}\right)=2\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i.\sin\frac{3\pi}{4}\right)=2\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\sqrt{2}+i\sqrt{2}.[/tex]
При [tex]k=2[/tex] имаме трето решение [tex]z_2=2\left(\cos\frac{\pi+4\pi}{4}+i.\sin\frac{\pi+4\pi}{4}\right)=2\left(\cos\frac{5\pi}{4}+i.\sin\frac{5\pi}{4}\right)=2\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\sqrt{2}-i\sqrt{2}.[/tex]
При [tex]k=3[/tex] имаме последно [tex]z_3=2\left(\cos\frac{\pi+6\pi}{4}+i.\sin\frac{\pi+6\pi}{4}\right)=2\left(\cos\frac{7\pi}{4}+i.\sin\frac{7\pi}{4}\right)=2\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\sqrt{2}+i\sqrt{2}.[/tex]

Проверка. [tex]z_i=\pm\sqrt{2}(1\pm i)[/tex], повдигаме на квадрат [tex]z_i^2=2(1+\pm i)^2=2(\not{1}\pm 2.i+\not{i^2})=\pm 4.i[/tex]. Още веднъж на втора [tex]z_i^4=16.i^2=-16.[/tex]

[MetaDream]

Много мерси

[gdimkov]

Втората задача може да се реши по начина, известен още от училище. Урок: Решаванена системи уравнения от І степен. От това, което пишеш изглежда, че условието е системата да се реши с формулите на Крамер. Има нещо започнато и трябвадасе довърши. А дали полученият резултат е решение на задачата, се проверява с непосредствено заместване във ВСИЧКИ уравнения и не е необходима някой друг да направи тази проверка.