Задача с триъгълник

[Zlatinster]

Лицето на правоъгълен триъгълник е равно на S,а радиусът на описаната около триъгълника окръжност e R.Намерете радиуса на вписаната в триъгълника окръжност.

[Реклама]

[Spider Iovkov]

Нека е даден правоъгълният [tex]\triangle ABC[/tex], чието лице по условие е [tex]S[/tex], а радиусът на неговата описана окръжност е [tex]R[/tex]. Търси се [tex]r[/tex].
Понеже [tex]\triangle ABC[/tex] е правоъгълен, то [tex]AB=2R[/tex]. Нека [tex]CH\bot AB, H\in AB[/tex]. Тогава [tex]\frac{AB.CH}{2}=S \Leftrightarrow AB.CH=2S \Leftrightarrow CH=\frac{2S}{AB} \Leftrightarrow CH=\frac{\cancel 2S}{\cancel 2R} \Leftrightarrow CH=h_{c}=\frac{S}{R}[/tex].
Но за произволен триъгълник е в сила [tex]S=pr \Rightarrow r=\frac{S}{p}[/tex]. Тогава, за да решим задачата, достатъчно е да намерим полупериметъра на триъгълника. За него трябва да знаем и трите страни [tex]AB, BC, AC[/tex]. Известна е само хипотенузата [tex]AB=2R[/tex]. Да означим [tex]AC=x, BC=y[/tex], след което получаваме [tex]x^2+y^2=(2R)^2[/tex] [tex](1)[/tex]. Също така [tex]\frac{c h_{c}}{2}=\frac{x y}{2}[/tex] [tex](2)[/tex]. Като съберем тези две уравнения в една обща система, достигаме до:
[tex]\begin{array}{||}xy=2S \Rightarrow x=\frac{2S}{y}\\x^2+y^2=4R^2\end{array} \Rightarrow (\frac{2S}{y})^2+y^2=4R^2 \Leftrightarrow \frac{4S^2}{y^2}+y^2=4R^2[/tex]. Като въведем новото неизвестно [tex]y^2=u, u\in (0;+\infty)[/tex], изменяме уравнението и то се превръща в квадратно относно спомагателната буквичка: [tex]\frac{4S^2}{u}+u=4R^2 \Leftrightarrow u^2-4R^2u+4S^2=0[/tex] с решения [tex]2R^2 \pm 2\sqrt{R^4-S^2} \Rightarrow y^2=u \Rightarrow y=\sqrt{u}[/tex], защото говорим за дължина на отсечка. [tex]y=\sqrt{2R^2 \pm 2\sqrt{R^4-S^2}} \Rightarrow x=\frac{2S}{y}=\frac{2S}{\sqrt{2R^2 \pm 2\sqrt{R^4-S^2}}}[/tex].
Тогава [tex]p=\frac{AB+BC+AC}{2}=\frac{x+y+2R}{2} \Leftrightarrow p=\frac{S+R^2 \pm \sqrt{R^4-S^2}+R\sqrt{2R^2 \pm 2\sqrt{R^4-S^2}}}{\sqrt{2R^2 \pm 2\sqrt{R^4-S^2}}}[/tex].
[tex]r=\frac{S}{p}=\frac{S\sqrt{2R^2 \pm 2\sqrt{R^4-S^2}}}{S+R^2 \pm \sqrt{R^4-S^2}+R\sqrt{2R^2 \pm 2\sqrt{R^4-S^2}}}[/tex].

Остава ти да провериш кой от корените на квадратното уравнение ще остане като решение.

[NoThanks]

Да отбележеим, че в правоъгълен ▲ p-c = r = p-2R. За лицето имаме
[tex]ab=2S[/tex] Oт друга страна: [tex]a^2+b^2=c^2 = 4R^2 = (a+b)^2 - 2ab = (a+b)^2-4S = 4R^2 => (a+b)^2 = 4R^2+4S => a+b = 2\sqrt{R^2+S}[/tex]
Сега се връщаме в
[tex]r=p-2R = (a+b+2R)/2 - 2R = \sqrt{R^2+S}+R-2R = \sqrt{R^2+S}-R[/tex]