задача за изразяване чрез вектори

[Маманадвама]

Здравейте, отново отново имам нужда от малко помощ
задача 1: Да се определи сумата от квадратите на разстоянията от един връх на правилен n ъгълник до останалите, ако радиуса на описаната окръжност е R.
Задачата трябва да се реши чрез вектори нещо което ме затруднява.
Благодаря предварително

[Реклама]

[gdimkov]

За простота да смятаме, че въпросният правилен n-ъгълник е вписан в окпъжност с център в началото на координатната система и един от върхвете му е А(R, 0). Имаме вектор [tex]\vec {OA} (R,\,0)[/tex]. Да вземем точка В върху окръжността. Тя определя вектор [tex]\vec {OB}[/tex]. да означим с [tex]\alpha [/tex] ъгъла между двата вектора. Тогава [tex]\vec {OB}(Rcos \alpha ,\,R\sin\alpha )[/tex].
Квадратът на разстоянието между точките А и В е равен на квадрата на дължината на [tex]\vec {AB}=\vec {OA}-\vec {OB},\,\vec {AB}(Rcos\alpha -R,\,R\sin\alpha )[/tex]
[tex]|\vec {AB}|^2=(Rcos\alpha -R)^2+R^2\sin^2\alpha =2R^2(1-cos\alpha )=4R^2\sin^2\,\frac {\alpha }{2}[/tex]
Да се върнем сега към нашия n-ъгълник. Точката В ще обхожда последователно върховете му. Тогава за първия връх имаме [tex]\alpha =\frac {2\pi }{n}[/tex]. За втория връх [tex]\alpha =\frac {2.2\pi }{n}[/tex]. Накрая, за (n-1)-вия връх [tex]\alpha =\frac {(n-1).2\pi }{n}[/tex].

Търсената сума се получава [tex]4R^2(\sin^2\,\frac {\pi }{n}\,+\,\sin^2\,\frac {2.\pi }{n}\,+\,\sin^2\,\frac {3.\pi }{n}+\cdots +\sin^2\,\frac {(n-1).\pi }{n})[/tex]

Не знам дали за това стама дума или дали помгнах нещо, тъй като не знам с какви средства трябва да се реши задачата.

[r2d2]

Kaто начало: Ако[tex] A_1...A_n[/tex] е правилен многоъгълник с център О, то [tex]\vec {OA_1}+\vec {OA_2}+...+\vec {OA_n}=\vec 0. [/tex]
Д-во: Тaзи сума не се променя при ротация на ъгъл [tex]\frac{\pi}{n}[/tex].

Всичко по-долу е векори!

Имаме [tex]|A_1A_i|^2=|OA_i-OA_1|^2=|OA_i|^2-2(OA_i,OA_1)+|OA_1|^2=2R^2-2(OA_i,OA_1)[/tex].

Toгава сумата е [tex]|A_1A_2|^2+...+|A_1A_n|^2=2(n-1)R^2-2[(OA_2,OA_1)+...+(OA_n,OA_1)]=2(n-1)R^2-2((OA_2+OA_3+...+OA_n),OA_1)=[/tex]

[tex]=2(n-1)R^2-2(-OA_1,OA_1)=2nR^2.[/tex]

[Маманадвама]

Благодаря, не се сетих да разглеждам първо n-ъгълник и окръжност, моного опростява нещата.