Изследване на функции

[Shanel_1990]

Може ли някой да ми помогне с начертаването на графиката на функцията [tex]y=-x^{4}+6x^{2}-5[/tex]. Мисля,че трябваше да се получи обърната парабола,но при мен се получи нещо съвсем друго.

[Реклама]

[gdimkov]

[tex]y'=-4x^3+12x=4x(3-x^2)=4x(\sqrt{3} -x)(\sqrt{3} +x)[/tex]

Без да изпадам в подробности (от общи съображения) графиката има два максимума и един минимум. В случая, за който ти говориш, производната има само една реална нула. Тогава графиката на полинома от четвърта степен наподобява парабола.
Неведнъж съм имал случай да отбележа, че всяко алгебрично уравнение с реални коефициенти от нечетна степен със сигурност има един реален корен. За другите няма гаранция. Необходими са допълнителни изследвания.
Без да мога да видя твоите резултати, смятам, че си на прав път.

[Spider Iovkov]

[tex]f(x)=-x^4+6x^2-5[/tex]
Дефиниционното множество е непрекъснато. Трябва да определим някои специфични точки от графиката на тази функция. За целта намираме първата производна: [tex]f'(x)=12x-4x^3[/tex], и интервалите, в които тя е положителна или отрицателна:
[tex]\begin{array}{||}12x-4x^3>0\\12x-4x^3<0\end{array} \Rightarrow \begin{array}{||}x\in (-\infty;-\sqrt{3}\cup (0;\sqrt{3}) \Rightarrow f'(x)>0 \Rightarrow f(x) \nearrow\\x\in (-\sqrt{3};0)\cup (\sqrt{3};+\infty) \Rightarrow f'(x)<0 \Rightarrow f(x)\searrow\end{array}[/tex].
В тези интервали дадената функция е монотонна: расте или намалява. В краищата на тези интервали функцията сменя знака си – от [tex]+[/tex] в [tex]-[/tex] или от [tex]-[/tex] в [tex]+[/tex]. Тогава в тези точки функцията има екстремуми:
– [tex]y_{max}=y(\pm \sqrt{3})=4[/tex], защото функцията е четна – [tex]f(x)=f(-x)[/tex];
– [tex]y_{min}=y(0)=-5[/tex].
Други характерни точки са тези, в които графиката пресича координатните оси:
– с [tex]Ox \Rightarrow y=0 \Rightarrow -x^4+6x^2-5=0 \Leftrightarrow x^4-6x^2+5=0 \Leftrightarrow x_{1,2}=\pm \sqrt{5}, x_{3,4}=\pm 1[/tex];
– с [tex]Oy \Rightarrow x=0 \Rightarrow y=-5[/tex].
[tex](\sqrt{5};0), (-\sqrt{5};0), (1;0), (-1;0), (0;-5)[/tex]
Да установим вдлъбнатостта и изпъкналостта на функцията. За целта определяме втората производна – [tex]f''(x)=12-12x^2[/tex], и после решаваме неравенствата [tex]12-12x^2>0[/tex] и [tex]12-12x^2<0[/tex]. От първото получаваме [tex]x\in (-1;1)[/tex] и тук [tex]f(x)[/tex] е изпъкнала, а когато [tex]x\in (-\infty;-1)\cup (1;+\infty)[/tex], функцията е вдлъбната.