малко трудна система

[irisa]

Малко се затрудних в решаването на тази система.Може ли малко помощ?

x+y –az =0
x –(a+2) +3z =0

x+ 2y –3z =0[/tex]

[Реклама]

[irisa]

Аз получавам за корени

x=0 , y=0, z=0 ,дали е вярно?

[Перо]

Предполагам, че във второто уравнение е пропусната променливата у след -(а+2).
Всяка хомогенна система има нулево решение и то е единствено, ако рангът на съответната матрица е равен на броя на неизвестните (в случая 3). С други думи, ако детерминантата на тази матрица е различна от 0.

[tex]\left|{\begin{array}{ccc}1 & 1 & -a \\ 1 & -a-2 & 3 \\ 1 & 2 & -3 \\\end{array}\right|=-a^2-a+6[/tex]
Следователно, ако a e различно от 2 и -3, системата има само нулевото решение, но при а=2 или а=-3 рангът на матрицата е 2 и тя има и ненулеви решения, които зависят от един свободен параметър.
При а = 2 получаваме тройката (t, t, t), а при а = -3 -->(-9t, 6t, t).

Ще опитам да го направя по още един начин: Матрицата на системата е:
[tex]\left({\begin{array}{ccc}1 & 1 & -a \\ 1 & -a-2 & 3 \\ 1 & 2 & -3 \\\end{array}\right)[/tex]
Изваждаме първия ред от втория и третия
[tex]\left({\begin{array}{ccc}1 & 1 & -a \\ 0 & -a-3 & 3+a \\ 0 & 1 & -3+a \\\end{array}\right)[/tex]
Разменяме местата на втори и трети ред
[tex]\left({\begin{array}{ccc}1 & 1 & -a \\ 0 & 1 & -3+a \\ 0 & -a-3 & 3+a \\\end{array}\right)[/tex]
Умножаваме втория ред по а+3 и го прибавяме към третия. Също така от първия ред изваждаме втория.
[tex]\left({\begin{array}{ccc}1 & 0 & -2a+3 \\ 0 & 1 & a-3 \\ 0 & 0 & (a+3).(a-2) \\\end{array}\right)[/tex]
Тук вече е очевидно, че рангът на матрицата не е по-малък от 2 и достигаме до изводите по-горе.

[irisa]

Благодаря!Много ми помогна.