Равнина пресича околните ръбове на правилна четириъгълнa...

[ганка симеонова]

Равнина пресича околните ръбове на правилна четириъгълна пирамида в точки, отстоящи от върха на пирамидата на разстояния a, b, c, d. Да се докаже, че [tex]\frac{1}{a }+ \frac{1}{c } =\frac{1}{ b} +\frac{1}{ d} [/tex]

[Реклама]

[Spider Iovkov]

Нека дадената правилна четириъгълна пирамида е [tex]ABCDM[/tex] с основни ръбове съответно [tex]AB, BC, CD, AD[/tex] и околни ръбове [tex]AM, BM, CM, DM[/tex]. Нека също така равнината [tex]\gamma[/tex] да пресича околните ръбове и:
[tex]\gamma x AM=A_{1}, \gamma x BM=B_{1}, \gamma x CM=C_{1}, \gamma x DM=D_{1}[/tex].
По условие [tex]A_{1}M=a, B_{1}M=b, C_{1}M=c, D_{1}M=d[/tex]. Нека също така [tex]A_{1}B_{1}||D_{1}C_{1}[/tex] и [tex]A_{1}D_{1}||B_{1}C_{1}[/tex]. Тогава [tex]\triangle A_{1}B_{1}M \sim \triangle D_{1}C_{1}M[/tex]. От подобието [tex]\Rightarrow \frac{A_{1}M}{D_{1}M}=\frac{B_{1}M}{C_{1}M} \Leftrightarrow \frac{a}{d}=\frac{b}{c} (1)[/tex].
Но [tex]\triangle A_{1}D_{1}M \sim \triangle B_{1}C_{1}M \Rightarrow \frac{A_{1}M}{B_{1}M}=\frac{D_{1}M}{C_{1}M} \Leftrightarrow \frac{a}{b}=\frac{d}{c} \Leftrightarrow ac=bd[/tex]. От [tex](1)[/tex] имаме [tex]\frac{a}{d}=\frac{b}{c} \Leftrightarrow ac=bd \Leftrightarrow \frac{a}{b}=\frac{d}{c} (2)[/tex].
Във [tex](2)[/tex] в числителя и знаменателя на първата дроб прибавяме [tex]c[/tex], а в числителя и знаменателя на втората дроб прибавяме [tex]b[/tex] и получаваме [tex]\frac{a+c}{b+c}=\frac{b+d}{b+c}[/tex]. Отношението не се изменя и дробите ще са равни, когато са равни и числителите им, тоест [tex]a+c=b+d[/tex]. Равенството, което трябваше да докажем, е [tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{1}{b}+\frac{1}{d}[/tex]. След преработка то добива вида [tex]\frac{a+c}{ac}=\frac{b+d}{bd}[/tex]. И сега, понеже [tex]ac=bd[/tex] и [tex]a+c=b+d[/tex], то получаваме желаното твърдение.

[ганка симеонова]

[NoThanks]

Апропо, от 1 маса време се каня да пиша тук и все нещо ме домързява. Идеята е, че си пускаме ортогоналните проекции на точките в АБЦД, взимаме околните ръбове = 1, височината на h, половинката от диагонала на основата = х и имаме няколко подобни триъгълници, откъдето намираме:
[tex]CR_{1}=x(1-c); R_{1}R=h(1-c);OR_{1}=cd;[/tex] Другите такива отсечки аналогично. Накрая си разглеждаме 2 трапеца: P1R1RP и Q1QTT1 в които си изразяваме ОО1(PRXQT=O1) по 2 начина и приравняваме. Резултатът е търсеното.