Весела системка

[r2d2]

Да се реши: [tex]\begin{cases} 2x+x^2y=y\\2y+y^2z=z\\2z+z^2x=x\end{cases}[/tex]

[Реклама]

[NoThanks]

Системата е циклична, а от тук и единственото решение x=y=z=0

[v1rusman]

Може ли да обясниш какво е определението за "циклична" и да опишеш как се доказва това твърдение. Освен ако не е нещо от сорта : "Очевидно е, че системата е циклична..."

[NoThanks]

Циклична:
когато може да се извърши замяната: x->y ; y->z ; z->x. При което системата не се променя. Тогава единственото решение е x=y=z. Сега заместваме в кое да е от уравненията и си го решаваме

[Пафнутий]

Извинявам се, но от това, че е циклична не ми се вижда очевидно, че решение се достига при [tex]x=y=z[/tex]. Напиши доказателство плс

[Nona]

Изразяваме у от първото уравнение и получаваме [tex]y=\frac{2x}{1-x^2}.[/tex] Гледаме, гледаме, гледаме и се сещаме да положим [tex]x=\tan\alpha.[/tex] Тогава [tex]y=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}=\tan {2\alpha}, \ \ z=\frac{2y}{1-y^2}=\tan{4\alpha}, \ \ x=\frac{2z}{1-z^2}=\tan{8\alpha}, \ \cyr{no} \ x=\tan{\alpha}. [/tex]

Остава само да решим уравнението
[tex]\tan\alpha=\tan8\alpha. \\ \tan8\alpha-\tan\alpha =\frac{\sin{7\alpha}}{\cos\alpha.\cos8\alpha}=0 \\ \sin{7\alpha}=0, \cos\alpha.\cos8\alpha \ne 0 \\ ...[/tex]

[r2d2]

[tex]\tan \alpha = \tan 8a \Rightarrow 8\alpha=\alpha +k\pi \Rightarrow \alpha=\frac{k\pi}{7}[/tex].
Толкова за единственото решение (0;0;0) на "цикличната" система на НоТханкс и разбира се нов отрицателен вот!

[v1rusman]

И кои са решенията в крайна сметка ? Защото по така записания отговор, нищо не мога да разбера.

[nikko1]

Освен това има и комплексни решения.
Например [tex]x=y=z=i[/tex] и [tex]x=y=z=-i[/tex]